以三角形的3個(gè)頂點(diǎn)和它內(nèi)部的7個(gè)點(diǎn)共10個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)能將原三角形分割成多少個(gè)小三角形?

答案：15個(gè)
解析：

解　若三角形內(nèi)有一個(gè)點(diǎn)，將原三角形分割成3個(gè)小三角形．如圖所示．

在此基礎(chǔ)上，增加一個(gè)點(diǎn)，有兩種情況：(1)點(diǎn)在某個(gè)小三角形的邊上；(2)點(diǎn)在某個(gè)小三角形內(nèi)．這兩種情況都將分割的小三角形個(gè)數(shù)增加2個(gè)，見圖．

由此推理，每添加1個(gè)點(diǎn)，就增加2個(gè)小三角形，從而當(dāng)三角形內(nèi)有n個(gè)點(diǎn)時(shí)，分割成的小三角形個(gè)數(shù)為2n＋1．因此本題可分割成個(gè)=15個(gè)小三角形．


提示：

如果直接由條件通過畫圖求角，難度很大，因?yàn)?/FONT>7個(gè)點(diǎn)的位置不確定，給分類討論帶來困難，因此，應(yīng)從簡單情形入手，進(jìn)行歸納，尋找規(guī)律．


練習(xí)冊(cè)系列答案
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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（1997•陜西）以三角形的三個(gè)頂點(diǎn)和它內(nèi)部的三個(gè)點(diǎn)共六個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)，能把原三角形分割成
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個(gè)小三角形，且使這些小三角形的面積和與原三角形的面積相等．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：閱讀理解

（2012•青島）問題提出：以n邊形的n個(gè)頂點(diǎn)和它內(nèi)部的m個(gè)點(diǎn)，共（m+n）個(gè)點(diǎn)作為頂點(diǎn)，可把原n邊形分割成多少個(gè)互不重疊的小三角形？
問題探究：為了解決上面的問題，我們將采取一般問題特殊性的策略，先從簡單和具體的情形入手：
探究一：以△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)和它內(nèi)部的1個(gè)點(diǎn)P，共4個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)，可把△ABC分割成多少個(gè)互不重疊的小三角形？
如圖①，顯然，此時(shí)可把△ABC分割成3個(gè)互不重疊的小三角形．
探究二：以△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)和它內(nèi)部的2個(gè)點(diǎn)P、Q，共5個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)，可把△ABC分割成多少個(gè)互不重疊的小三角形？
在探究一的基礎(chǔ)上，我們可看作在圖①△ABC的內(nèi)部，再添加1個(gè)點(diǎn)Q，那么點(diǎn)Q的位置會(huì)有兩種情況：
一種情況，點(diǎn)Q在圖①分割成的某個(gè)小三角形內(nèi)部．不妨假設(shè)點(diǎn)Q在△PAC內(nèi)部，如圖②；
另一種情況，點(diǎn)Q在圖①分割成的小三角形的某條公共邊上．不妨假設(shè)點(diǎn)Q在PA上，如圖③．
顯然，不管哪種情況，都可把△ABC分割成5個(gè)不重疊的小三角形．
探究三：以△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)和它內(nèi)部的3個(gè)點(diǎn)P、Q、R，共6個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)可把△ABC分割成
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個(gè)互不重疊的小三角形，并在圖④中畫出一種分割示意圖．
探究四：以△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)和它內(nèi)部的m個(gè)點(diǎn)，共（m+3）個(gè)頂點(diǎn)可把△ABC分割成
（2m+1）
（2m+1）
個(gè)互不重疊的小三角形．
探究拓展：以四邊形的4個(gè)頂點(diǎn)和它內(nèi)部的m個(gè)點(diǎn)，共（m+4）個(gè)頂點(diǎn)可把四邊形分割成
（2m+2）
（2m+2）
個(gè)互不重疊的小三角形．
問題解決：以n邊形的n個(gè)頂點(diǎn)和它內(nèi)部的m個(gè)點(diǎn)，共（m+n）個(gè)頂點(diǎn)可把△ABC分割成
（2m+n-2）
（2m+n-2）
個(gè)互不重疊的小三角形．
實(shí)際應(yīng)用：以八邊形的8個(gè)頂點(diǎn)和它內(nèi)部的2012個(gè)點(diǎn)，共2020個(gè)頂點(diǎn)，可把八邊形分割成多少個(gè)互不重疊的小三角形？（要求列式計(jì)算）

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：填空題

以三角形的三個(gè)頂點(diǎn)和它內(nèi)部的三個(gè)點(diǎn)共六個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)，能把原三角形分割成________個(gè)小三角形，且使這些小三角形的面積和與原三角形的面積相等．

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以三角形的三個(gè)頂點(diǎn)和它內(nèi)部的三個(gè)點(diǎn)共六個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)，能把原三角形分割成    個(gè)小三角形，且使這些小三角形的面積和與原三角形的面積相等．

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