Question

如圖，AB為⊙0的直徑，DC、DA、CB分別切⊙O于G、A、B，OE⊥BD于F，交BC的延長線于E，連CF．
（1）求證：=；
（2）若tan∠ABD=，求tan∠CFE的值．

Answer 1

（1）證明：連接OC，OD，
∵DC、DA、CB分別切⊙O于G、A、B，
∴∠A=∠OBC=90°，∠ODA=∠ODG=∠ADG，∠OCB=∠OCG=∠BCG，
∵∠ADG+∠BCG=180°，
∴∠ODG+∠OCG=90°，
∴∠COD=90°，
∴∠AOD+∠BOC=90°，
∵∠AOD+∠ODA=90°，
∴∠ODA=∠BOC，
∴△DOA∽△OCB，
∴=；

（2）解：∵tan∠ABD=，
∴=，
∵OA=OB=AB，
∴=，
∴CB=OB，
在Rt△OBE中，BF⊥OE，
∴∠BEO=∠ABD，
∴tan∠OEB=tan∠ABD=，
即=，
∴BE=OB，
∴BC=BE，
即C是BE的中點(diǎn)，
∵BF⊥FE，
∴CF=CE=BE，
∴∠CFE=∠CEF=∠ABD，
∴tan∠CFE=tan∠ABD=．
分析：（1）首先連接OC，OD，由DC、DA、CB分別切⊙O于G、A、B，根據(jù)切線的性質(zhì)與切線長定理，可證得∠COD=90°，繼而可證得△DOA∽△OCB，然后由相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例，證得結(jié)論；
（2）由tan∠ABD=，可證得CB=OB，易證得C是BE的中點(diǎn)，繼而可得∠CFE=∠CEF=∠ABD，則可證得結(jié)論．
點(diǎn)評(píng)：此題考查了切線的性質(zhì)、切線長定理以及三角函數(shù)等知識(shí)．此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．