Question

如圖，已知關(guān)于x的二次函數(shù)y=-x²+bx+c（c＞0）的圖象與x軸相交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，且OB=OC=3，頂點(diǎn)為M．
（1）求出二次函數(shù)的關(guān)系式；
（2）點(diǎn)P為線段MB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作x軸的垂線PD，垂足為D．若OD=m，△PCD的面積為S，求S關(guān)于m的函數(shù)關(guān)系式，并寫出m的取值范圍；
（3）探索線段MB上是否存在點(diǎn)P，使得△PCD為直角三角形？如果存在，求出P的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）可根據(jù)OB、OC的長(zhǎng)得出B、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)，然后用待定系數(shù)法即可求出拋物線的解析式．
（2）求出P點(diǎn)的坐標(biāo)，據(jù)此可根據(jù)三角形的面積計(jì)算方法求出S與m的函數(shù)關(guān)系式．
（3）先根據(jù)拋物線的解析式求出M的坐標(biāo)，進(jìn)而可得出直線BM的解析式，以及P點(diǎn)縱坐標(biāo)，即可得出符合條件的P點(diǎn)的坐標(biāo)．
解答：解：（1）∵OB=OC=3，
∴B（3，0），C（0，3）
∴，
解得 1分
∴二次函數(shù)的解析式為y=-x²+2x+3；

（2）∵y=-x²+2x+3=-（x-1）²+4，
∴M（1，4）
設(shè)直線MB的解析式為y=kx+n，
則有
解得：，
∴直線MB的解析式為y=-2x+6
∵PD⊥x軸，OD=m，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（m，-2m+6）
S_三角形PCD=×（-2m+6）•m=-m²+3m（1≤m≤3）；

（3）∵若∠PDC是直角，則點(diǎn)C在x軸上，由函數(shù)圖象可知點(diǎn)C在y軸的正半軸上，
∴∠PDC≠90°，
在△PCD中，當(dāng)∠DPC=90°時(shí)，
當(dāng)CP∥AB時(shí)，
∵PD⊥AB，
∴CP⊥PD，
∴PD=OC=3，
∴P點(diǎn)縱坐標(biāo)為：3，代入y=-2x+6，
∴x=，此時(shí)P（，3）．
∴線段BM上存在點(diǎn)P（ ，3）使△PCD為直角三角形．
當(dāng)∠P′CD′=90°時(shí)，△COD′∽△D′CP′，
此時(shí)CD′²=CO•P′D′，
即9+m²=3（-2m+6），
∴m²+6m-9=0，
解得：m=-3±3，
∵1≤m＜3，
∴m=3（-1），
∴P′（3-3，12-6）
綜上所述：P點(diǎn)坐標(biāo)為：（，3），（3-3，12-6）．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查二次函數(shù)解析式的確定、圖形的面積求法、函數(shù)圖象交點(diǎn)、等腰三角形的判定等知識(shí)及綜合應(yīng)用知識(shí)、解決問題的能力．