Question

如圖，正方形ABCD的邊長為1，P為AB上的點，Q為AD上的點，且△APQ的周長為2．求∠PCQ的度數(shù)．

Answer 1

分析：根據(jù)正方形的邊長為1，△APQ的周長為2可得DQ+BP=PQ，將△CBP繞點C順時針旋轉90°得△CDE，根據(jù)旋轉的性質只改變圖形的位置，不改變圖形的形狀與大小可得CE=CP，DE=BP，然后求出PQ=EQ，利用“邊邊邊”證明△CPQ和△CEQ全等，根據(jù)全等三角形對應角相等可得∠PCQ=∠ECQ，從而求出∠PCQ=45°．

解答：解：∵正方形ABCD的邊長為1，
∴AB+AD=1+1=2，
∵△APQ的周長為2，
∴AP+AQ+PQ=2，
又∵AB=AP+BP，AD=AQ+DQ，
∴DQ+BP=PQ，
將△CBP繞點C順時針旋轉90°得△CDE，
則CE=CP，DE=BP，∠BCP=∠DCE，
∴EQ=DQ+DE=DQ+BP=PQ，
在△CPQ和△CEQ中，

CE=CP EQ=PQ CQ=CQ

，
∴△CPQ≌△CEQ（SSS），
∴∠PCQ=∠ECQ，
又∵∠PCQ+∠ECQ=∠PCQ+∠DCQ+∠DCE=∠PCQ+∠DCQ+∠BCP=∠BCD=90°，
∴∠PCQ=

1

2

×90°=45°．

點評：本題考查了旋轉的性質，正方形的性質，全等三角形的判定與性質，作出輔助線構造出全等三角形，然后根據(jù)正方形的邊長與△APQ的周長求出DQ+BP=PQ，從而求出三角形全等的條件是解題的關鍵．