Question

已知：如圖，直線y=

1

3

x與雙曲線y=

k

x

交于A、B兩點(diǎn)，且點(diǎn)A的坐標(biāo)為（6，m）．點(diǎn)C（n，4）在雙曲線y=

k

x

上，
（1）求雙曲線y=

k

x

的解析式；     
（2）求△AOC的面積；
（3）在x軸上是否存在點(diǎn)P，使△COP為等腰三角形？若存在，請(qǐng)直接寫出P點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)直線y=

1

3

x與雙曲線y=

k

x

交于A、B兩點(diǎn)，且點(diǎn)A的坐標(biāo)為（6，m），將A點(diǎn)坐標(biāo)代入直線解析式得出m的值，再將A點(diǎn)代入反比例函數(shù)解析式，即可求得k，進(jìn)而求得反比例函數(shù)的解析式．
（2）過點(diǎn)C，A作CD⊥y軸，CF⊥x軸，AE⊥x軸，垂足為D，F(xiàn)，E，利用A，C坐標(biāo)即可得出矩形CDOF，梯形ACFE的面積．
（3）應(yīng)先求出OC的距離，然后根據(jù)：OC=OP，OC=CP，OP=CP，分情況討論解決．

解答：解：（1）∵直線y=

1

3

x與雙曲線y=

k

x

交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（6，m），
∴將（6，m）代入y=

1

3

x得：
m=

1

3

×6=2，
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為：（6，2），
將A點(diǎn)代入解析式y(tǒng)=

k

x

得：
k=12，
則雙曲線y=

k

x

的解析式為：y=

12

x

，

（2）將點(diǎn)C（n，4）代入y=

12

x

得：
4=

12

n

，
解得：n=3，
則C點(diǎn)坐標(biāo)為：（3，4），
則CD=3，CF=4，EF=6-3=3，AE=2，
則矩形CDOF的面積為：CD×CF=3×4=12，
梯形ACFE的面積為：

1

2

（AE+CF）×EF=

1

2

×（2+4）×3=9，
△OCD面積為：

1

2

×DO×CD=

1

2

×3×4=6，
△AOE面積為：

1

2

×AE×EO=

1

2

×2×6=6，
則△AOC的面積為：矩形CDOF的面積+梯形ACFE的面積-△OCD面積-△AOE面積=12+9-6-6=9；

（3）①當(dāng)OC為腰時(shí)，由OC=OP₁=5，得P₁（-5，0），
由OC=CP₂得P₂（6，0）；
由OC=OP₃得P₃（5，0）．
②當(dāng)OC為底時(shí)，做OC的垂直平分線與x軸的交點(diǎn)為（

25

6

，0），
∴符合條件的點(diǎn)有4個(gè)，分別是（-5，0），（6，0），（5，0）（

25

6

，0）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了反比例函數(shù)的綜合，利用圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)性質(zhì)得出K的值，進(jìn)而得出A，C坐標(biāo)是解題關(guān)鍵．