Question

如圖，在矩形ABCD中，AB=9，BC=12，點(diǎn)E是BC中點(diǎn)，點(diǎn)F是邊CD上的任意一點(diǎn)，當(dāng)△AEF的周長最小時(shí)，則DF的長為（    ）

A．4                B．6                C．8                D．9

 

Answer 1

【答案】

B

【解析】

試題分析：

作點(diǎn)E關(guān)于直線CD的對稱點(diǎn)E′，連接AE′交CD于點(diǎn)F

AE的長度是固定的，要△AEF的周長最小，只要AF+EF最小即可，又根據(jù)三角形兩邊之和大于第三邊可知，對CD上任意點(diǎn)F′,總有AF′+E′F′＞AE′,所以點(diǎn)F是使得AF+EF最小的點(diǎn)。。

∵在矩形ABCD中，AB=9，BC=12，點(diǎn)E是BC中點(diǎn)，

∴BE=CE=CE′=6，

∵AB⊥BC，CD⊥BC，

∴△CE′F∽△BE′A，即CE′·AB=CF·BE′，即6×9=CF·(12+6)，解得CF=3，

∴DF=CD-CF=9-3=6

故選B

考點(diǎn)：矩形的性質(zhì)、軸對稱的性質(zhì)、三角形的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)、解分式方程

點(diǎn)評：難度中等，動(dòng)點(diǎn)問題，關(guān)鍵在于理解要△AEF的周長最小，只要AF+EF最小。