Question

如圖，已知AB是⊙O的直徑，直線CD與⊙O相切于點C，AC平分∠DAB．

（1）求證：AD⊥DC；

（2）若AD=2，AC=，求AB的長．

Answer 1

 

考點： 切線的性質(zhì)；相似三角形的判定與性質(zhì)． 

專題： 綜合題；壓軸題．

分析： （1）連接OC，根據(jù)切線的性質(zhì)得到OC與CD垂直，進而得到∠OCA+∠DCA=90°，由AC為角平分線，根據(jù)角平分線定義得到兩個角相等，又OA=OC，根據(jù)等邊對等角得到又得到另兩個角相等，等量代換后得到∠DAC=∠OCA，根據(jù)等角的余角相等得到∠DCA+∠DAC=90°，從而得到∠ADC為直角，得證；

（2）連接CB，由AB為圓O的直徑，根據(jù)直徑所對的圓周角為直角得到∠ACB與∠ADC相等都為直角，又根據(jù)AC為角平分線得到一對角相等，由兩對對應角相等的兩三角形相似，得到三角形ADC與三角形ABC相似，由相似得比例列出關系式，把AC和AD的長即可求出AB的長．

解答： 解：（1）連接OC，

∵直線CD與⊙O相切于點C，

∴OC⊥CD．

∴∠OCA+∠DCA=90°，

∵AC平分∠DAB，

∴∠DAC=∠OAC，

又∵在⊙O中，OA=OC，

∴∠OAC=∠OCA，

∴∠DAC=∠OCA，

∴∠DCA+∠DAC=90°，

則∠ADC=90°，

即AD⊥DC；

 

（2）連接BC．

∵AB為圓O的直徑，

∴∠ACB=90°，

∴∠ADC=∠ACB=90°，

又∵AC平分∠DAB，

∴∠DAC=∠OAC，

∴△ADC∽△ACB，

∴，即，

則．

點評： 此題考查了切線的性質(zhì)，圓周角定理以及相似三角形的判定與性質(zhì)．運用切線的性質(zhì)來進行計算或論證，常通過作輔助線連接圓心和切點，利用垂直構造直角三角形解決有關問題．同時要求學生掌握直徑所對的圓周角為直角．圓與相似三角形及三角函數(shù)相融合的解答題、與切線的性質(zhì)和判定有關的證明題是近幾年中考的熱點試題．