Question

如圖，在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=12cm，點P從點A沿邊AB向點B以1cm/s的速度移動；同時，點Q從點B沿邊BC向點C以2cm/s的速度移動，有一點到終點運動即停止．問：
（1）幾秒鐘后△PBQ的面積等于8cm²？
（2）幾秒鐘后PQ⊥DQ？
（3）是否存在這樣的時刻，使S_△PDQ=8cm²，試說明理由．

Answer 1

解：
（1）設(shè)x秒后△PBQ的面積等于8cm²．
則AP=x，QB=2x．
∴PB=6-x．
∴×（6-x）2x=8，
解得x₁=2，x₂=4，
答：2秒或4秒后△PBQ的面積等于8cm²；
（2）設(shè)x秒后PQ⊥DQ時，則∠DQP為直角，
∴△BPQ∽△CQD，
∴=，
設(shè)AP=x，QB=2x．
∴=，
∴2x²-15x+18=0，
解得：x=或6，
答：秒或6秒鐘后PQ⊥DQ；
（3）設(shè)出發(fā)秒x時△DPQ的面積等于8cm²．
∵S_矩形ABCD-S_△APD-S_△BPQ-S_△CDQ=S_△DPQ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
∴12×6-×12x-×2x（6-x）-×6×（12-2x）=8，
化簡整理得 x²-6x+28=0，
∵△=36-4×28=-76＜0，
∴原方程無解，
∴不存在這樣的時刻，使S_△PDQ=8cm²．
分析：（1）表示出PB，QB的長，利用△PBQ的面積等于8cm²列式求值即可；
（2）如果PQ⊥DQ，則∠DQP為直角，得出△BPQ∽△CQD，即可得出=，再設(shè)AP=x，QB=2x，得出=，求出x即可；
（3）設(shè)出發(fā)秒x時△DPQ的面積等于8平方厘米，根據(jù)三角形的面積公式列出方程，再根據(jù)根的判別式判斷方程是否有解即可．
點評：此題考查了矩形的性質(zhì)、一元二次方程的應(yīng)用、相似三角形的性質(zhì)；解題的關(guān)鍵是根據(jù)三角形相似的性質(zhì)列出方程．