Question

巳知：如圖，在△ABC中，∠B=90°，O是AB上一點，以O為圓心，OB為半徑的半圓交AB于點E，與AC切于點D．當AD²+AE²=5時，AD、AE（AD＞AE）是關于x的方程x²-（m-1）x+m-2=0（m≠0）的兩個根．
（1）求實數m的值；
（2）證明：CD的長度是無理方程2-x=1的一個根；
（3）以B點為坐標原點，分別以AB、BC所在直線為x軸、y軸建立平面直角坐標系，求過A、B、D三點且對稱軸平行于y軸的拋物線的解析式．

Answer 1

（1）解：∵AD、AE是關于x的方程x²-（m-1）x+m-2=0（m≠0）的兩個根，則有：
AD+AE=m-1，AD•AE=m-2；
又∵AD²+AE²=5，即（AD+AE）²-2AD•AE=5；
∴（m-1）²-2（m-2）=5，即m²-4m=0；
∴m₁=4，m₂=0；
∵m≠0，
∴m=4．

（2）證明：將m=4代入方程x²-（m-1）x+m-2=0中，得x²-3x+2=0，
解之得：x₁=2，x₂=1；
而AD、AE為此方程的兩根，且AD＞AE．
∴AD=2，AE=1
∵AD為⊙O的切線，AB為割線．
由切割線定理，得AD²=AE•AB．
即2²=1•AB；
∴AB=4．
∵∠B=90°，
∴BC為⊙O的切線．
而CD也為⊙O的切線，
因此CD=CB．
在Rt△ABC中，AB²+BC²=AC²，即4²+DC²=（2+CD）²，
∴CD=3．
將CD=3作為x的值代入無理方程2-x=1中，得：左邊=右邊；
∴CD的長是無理方程2-x=1的一個根．

（3）解：過D作DF⊥AB于F，
∴CB⊥BA，
∴△AFD∽△ABC，
∴=，
∴=，
∴DF=，
又∵，
∴AF=，
∴BF=4-AF=．
∴以B點為坐標原點，分別以AB、BC所在直線為x軸、y軸建立平面直角坐標系，則有：
A（-4，0），B（0，0），D（-，），
∵過A、B、D三點的拋物線的對稱軸平行于y軸．
設過A、B、D三點的拋物線的解析式為y=ax²+bx+c（a≠0），則有：
，
解得，
∴過A、B、D三點的拋物線的解析式為y=-x²-x．
分析：（1）本題可根據一元二次方程根與系數的關系，用m表示出AD+AE和AD•AE的值，已知了AD²+AE²=5，將式子進行適當變形后即可求出m值．
（2）本題的關鍵是求出CD的長，根據（1）得出的m的值，可求出AD，AE的長，根據切割線定理即可求出AB的長，在直角三角形ABC中，根據切線長定理有CD=CB，而AC=CD+AD，AB的長已求出，因此根據勾股定理即可求出CD的長，進而可判斷出CD的長是否為無理方程的一個跟．
（3）本題的關鍵是求出D的坐標，可過D作DF⊥AB于F，那么可通過相似三角形求出DF和AF的長，也就能得出D點的坐標，然后根據A、B、D三點的坐標用待定系數法即可求出過這三點的拋物線的解析式．
點評：本題考查一元二次方程的根與系數的關系，二次函數解析式的確定、切割線定理、切線長定理、相似三角形的判定和性質等知識及綜合應用知識、解決問題的能力．