Question

我們把對稱中心重合，四邊分別平行的兩個正方形之間的部分叫“方形環(huán)”，易知方形環(huán)四周的寬度相等．

一條直線l與方形環(huán)的邊線有四個交點M、M′、N′、N.小明在探究線段MM′與N′N 的數量關系時，從點M′、N′向對邊作垂線段M′E、N′F，利用三角形全等、相似及銳角三角函數等相關知識解決了問題．請你參考小明的思路解答下列問題：

(1)當直線l與方形環(huán)的對邊相交時，如圖1，直線l分別交AD、A′D′、B′C′、BC于M、M′、N′、N，小明發(fā)現MM′與N′N相等，請你幫他說明理由；

(2)當直線l與方形環(huán)的鄰邊相交時，如圖2，l分別交AD、A′D′、D′C′、DC于M、M′、N′、N，l與DC的夾角為α，你認為MM′與N′N還相等嗎？若相等，說明理由；若不相等，求出的值(用含α的三角函數表示)．

Answer 1

解　(1)在方形環(huán)中，∵M′E⊥AD，N′F⊥BC，AD∥BC，

∴M′E＝N′F，∠M′EM＝∠N′FN＝90°，

∠EMM′＝∠FNN′，∴△MM′E≌△NN′F.

∴MM′＝N′N.

(2)法一　∵∠NFN′＝∠MEM′＝90°，

∠FNN′＝∠EM′M＝α，

∴△NFN′∽△M′EM，∴＝.

∵M′E＝N′F，∴＝＝tan α.

①當α＝45°時，tan α＝1，則MM′＝NN′；

②當α≠45°時，MM′≠NN′，則＝tan α.

法二　在方形環(huán)中，∠D＝90°.

又∵M′E⊥AD，N′F⊥CD，∴M′E∥DC，N′F＝M′E.

∴∠MM′E＝∠N′NF＝α.

在Rt△NN′F與Rt△MM′E中，

sin α＝，cos α＝，即＝tan α.

①     當α＝45°時，MM′＝NN′；

②當α≠45°時，MM′≠NN′，則＝tan α.