Question

將一個(gè)面積為1的等邊三角形挖去連接三邊中點(diǎn)所組成的三角形（如第①圖）后，繼續(xù)挖去連接剩余各個(gè)三角形三邊中點(diǎn)所的三角形（如第②圖、第③圖）…如此進(jìn)行挖下去，第2010個(gè)圖形中剩余部分的面積為

 

（圖中陰影部分為挖去部分）

Answer 1

分析：觀察這幾個(gè)圖，可以看出來，分別在每個(gè)圖形中，以每個(gè)小白三角形為一個(gè)基本圖形，那么在這個(gè)圖形中，就會(huì)有很多以一個(gè)白色三角形為基礎(chǔ)的圖形．則可以觀察出規(guī)律，在第N個(gè)圖形中，會(huì)有4的n次冪個(gè)基本形；也可以看出有3的n次冪個(gè)白色三角形．那么剩余部分的面積就應(yīng)該是：4的n次冪分之3的n次冪×大三角形的面積．

解答：解：觀察得出規(guī)律，在第N個(gè)圖形中，會(huì)有4的n次冪個(gè)基本形，
也可以看出有3的n次冪個(gè)白色三角形，
那么剩余部分的面積就應(yīng)該是：4的N次冪分之3的N次冪×大三角形的面積，
根據(jù)三角形的面積是1，
那么就可以得出第2010個(gè)圖形中剩余部分的面積為：4的2010次冪分之3的2010次冪×1
也就是：

32010

42010

×1，
即：(

3

4

)2010，
故答案為：(

3

4

)2010．

點(diǎn)評(píng)：此題考查的知識(shí)點(diǎn)是圖形的變化類問題，關(guān)鍵是通過觀察得到剩余部分的面積就應(yīng)該是：4的n次冪分之3的n次冪×大三角形的面積．