Question

已知：α，β（α＞β）是一元二次方程x²-x-3=0的兩個實數(shù)根，設(shè)S₁=α+β，S₂=α²+β²，…，S_n=αⁿ+βⁿ．根據(jù)根的定義，有α²-α-3=0，β²-β-3=0將兩式相加，得（α²+β²）-（α+β）-6=0，于是，得S₂-S_l-6=0．
根據(jù)以上信息，解答下列問題：
（1）利用配方法求α，β的值，并直接寫出S₁，S₂的值；
（2）求出S₃的值，并猜想：當n≥3時，S_n，S_n-1，S_n-2．之間滿足的數(shù)量關(guān)系為

s_n=s_n-1+3s_n-2

；
（3）直接填出 (

1+ 13

2

)5+(

1- 13

2

)5的值為

61

．

Answer 1

分析：（1）此小題只需對x²-x=3配方解得x的值即為α，β的值，再由s₁=α+β，s₂=α²+β²求得s₁，s₂的值；
（2）根據(jù)S₃=α³+β³=（α+β）（α²-αβ+β²）結(jié)合（1）求出，猜想得到s_n=s_n-1+3s_n-2，再根據(jù)根的定義證明即可；
（3）由（2）可得出 (

1+ 13

2

)5+(

1- 13

2

)5即為S₅的值，依次計算求得S₅的值即可．

解答：解：（1）移項，得x²-x=3，
配方，得x2-2×x×

1

2

+（

1

2

）2=3+（

1

2

）2，
即（x-

1

2

）2=

13

4

，
開平方，得x-

1

2

=±

13

2

，即x=

1± 13

2

，
所以，α=

1+ 13

2

，β=

1- 13

2

．
于是，s₁=α+β=1，s₂=α²+β²=7；

（2）∵s₁=α+β=1，s₂=α²+β²=7
∴S₃=α³+β³=（α+β）（α²-αβ+β²）=1×（7-

1+ 13

2

×

1- 13

2

）=10，
猜想：s_n=s_n-1+3s_n-2．
證明：根據(jù)根的定義，α²-α-3=0，
兩邊都乘以α^n-2，得　αⁿ-α^n-1-3α^n-2=0，①
同理，βⁿ-β^n-1-3β^n-2=0，②
①+②，得（αⁿ+βⁿ）-（α^n-1+β^n-1）-3（α^n-2+β^n-2）=0，
因為　s_n=αⁿ+βⁿ，s_n-1=α^n-1+β^n-1，s_n-2=α^n-2+β^n-2，
所以　s_n-s_n-1-3s_n-2=0，
即s_n=s_n-1+3s_n-2．
故答案為：s_n=s_n-1+3s_n-2．

（3）解：由（1）知，s₁=1，s₂=7，S₃=10，
由（2）中的關(guān)系式可得：
s₃=s₂+3s₁=10，s₄=s₃+3s₂=31，s₅=31+3×10=61．
故答案為：61．

點評：本題考查了配方法的應(yīng)用以及規(guī)律問題，根據(jù)已知得出α，β的值進而得出S_n，S_n-1，S_n-2之間滿足的數(shù)量關(guān)系是解題關(guān)鍵．