如圖,⊙O是Rt△ABC的外接圓,∠ABC=90°,點P是圓外一點,PA切⊙O于點A,且PA=PB.
(1)試說明:PB是⊙O的切線;
(2)已知⊙O的半徑為
3
,AB=2
2
,求PA的長.
分析:(1)連接OB,OP,交AB于點D,根據(jù)SSS證△OAP≌△OBP,推出∠OBP=∠OAP=90°,根據(jù)切線的判定推出即可;
(2)求出BC長,證△OBC∽△PAB,得出比例式,代入求出即可.
解答:解:(1)連接OB,OP,交AB于點D

∵⊙O是Rt△ABC的外接圓,
∴AC是⊙O的直徑,
又∵PA與⊙O相切,
∴∠OAP=90°,在△OAP和△OBP中
PA=PB
OA=OB
OP=OP
,
∴△OAP≌△OBP,
∴∠OBP=∠OAP=90°,
即OB⊥BP.
又∵點B在⊙O上,
∴PB是⊙O的切線.

(2)∵∠ABC=∠OBP=90°,
∴∠OBC=∠ABP,
又∵OC=OB,PA=PB,
∴∠OCB=∠OBC=∠ABP=∠BAP,
∴△OCB∽△PAB,
OC
PA
=
BC
AB
3
PA
=
BC
2
2
,
而在Rt△ABC中,AB=2
2
,AC=2
3
,
∴BC=2
∴PA=
6
點評:本題考查了相似三角形的性質(zhì)和判定,全等三角形的性質(zhì)和判定,切線的判定,勾股定理等知識點的運(yùn)用,主要培養(yǎng)學(xué)生的推理能力,題目具有一定的代表性,難度也適中.
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(1)求證:PB是⊙O的切線; 
(2)已知PA=2
3
,BC=2,求⊙O的半徑.

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3
cm,求DB、DC的長. (直角三角形中,30°角所對邊等于斜邊的一半)

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