Question

如圖，AB為⊙O的直徑，點D、E位于AB兩側的圓上，且∠AED=45°，過點D作直線CD∥AB
（1）求證：CD是⊙O的切線；
（2）過點B作⊙O的切線BF交直線CD于點F，若⊙O半徑為5cm，求梯形ABFD的面積．

Answer 1

（1）證明：連接OD，如圖所示：
∵∠AOD和∠AED分別為所對的圓心角和圓周角，且∠AED=45°，
∴∠AOD=2∠AED=90°，即OD⊥AB，
∵AB∥DC，
∴OD⊥DC，
∴DC為⊙O的切線；

（2）解：∵BF切⊙O于點B，
∴BF⊥AB，即∠ABF=90°
由（1）得：∠BOD=∠ODC=90°，
∴四邊形OBFD為矩形，又OD=OB，
∴四邊形OBFD為正方形，
∴DF=OB=FB=OD=5cm，AB=2OB=10cm，
∴S_梯形ABFD=（FD+AB）•OD
=（5+10）×5=cm²．
分析：（1）連接OD，根據同弧所對的圓心角等于所對圓周角的2倍，由∠AED的度數乘以2可得圓心角∠AOD為直角，再根據AB與DC平行，根據兩直線平行，同旁內角互補可得OD與DC垂直，即可得到DC為圓的切線；
（2）由BF為圓的切線，根據切線的性質可得∠ABF為直角，再由第一問得到的∠BOD和∠ODF都為直角，根據三個角為直角的四邊形為矩形可得OBFD為矩形，又根據半徑OD=OB，即鄰邊相等，可得OBFD為正方形，且邊長為半徑的值，進而得到上底DF，高FB及下底AB的長，利用梯形的面積公式即可求出梯形ABFD的面積．
點評：此題考查了切線的性質與判定，平行線的性質，以及正方形的判定與性質，在證明切線時，有點連接圓心與此點，證明垂直可得切線；無點作垂線，證明垂線段等于半徑可得切線，熟練掌握切線的判定與性質是解本題的關鍵．