Question

已知拋物線(xiàn)y＝x2＋(2n－1)x＋n2－1(n為常數(shù))． (1) 當(dāng)該拋物線(xiàn)經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，并且頂點(diǎn)在第四象限時(shí)，求出它所對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式； (2) 設(shè)A是(1)所確定的拋物線(xiàn)上位于x軸下方且在對(duì)稱(chēng)軸左側(cè)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)A作x軸的平行線(xiàn)，交拋物線(xiàn)于另一點(diǎn)D，再作AB⊥x軸于B，DC⊥x軸于C． ①當(dāng)BC＝1時(shí)，求矩形ABCD的周長(zhǎng)； ②試問(wèn)矩形ABCD的周長(zhǎng)是否存在最大值?如果存在，請(qǐng)求出這個(gè)最大值，并指出此時(shí)A點(diǎn)的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

答案：
解析：

(1)

由已知條件，得n2－1＝0，解這個(gè)方程，得n1＝1，n2＝－1．當(dāng)n＝1時(shí)，得y＝x2＋x，此拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)不在第四象限；當(dāng)n＝－1時(shí)，得y＝x2－3x，此拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)在第四象限．所以?huà)佄锞�(xiàn)所對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式為y＝x2－3x．

(2)

解：由y＝x2－3x，令y＝0，得x2－3x＝0，解得xl＝0，x2＝3，所以?huà)佄锞�(xiàn)與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為(3，0)，所以它的頂點(diǎn)為，對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)x＝，其大致位置如圖所示． 　�、僖�?yàn)锽C＝1，由拋物線(xiàn)和矩形的對(duì)稱(chēng)性易知OB＝×(3－1)＝1，所以B(1，0)，所以點(diǎn)A的橫坐標(biāo)x＝1，又因?yàn)辄c(diǎn)A在拋物線(xiàn)y＝x2－3x上，所以點(diǎn)A的縱坐標(biāo)y＝12－3×1＝－2，所以AB＝｜y｜＝｜－2｜＝2，所以矩形ABCD的周長(zhǎng)為2(AB＋BC)＝2×(2＋1)＝6． 　　②因?yàn)辄c(diǎn)A在拋物線(xiàn)y＝x2－3x上，故可設(shè)A點(diǎn)的坐標(biāo)為(x，x2－3x)，所以B點(diǎn)的坐標(biāo)為(x，0)(0＜x＜)，所以BC＝3－2x，A在x軸下方，所以x2－3x＜0，所以AB＝｜x2－3x｜＝3x－x2，所以矩形ABCD的周長(zhǎng)P＝2[(3x－x2)＋(3－2x)]＝－2(x－)2＋．因?yàn)閍＝－2＜0，所以當(dāng)x＝時(shí)，矩形ABCD的周長(zhǎng)P的最大值為． 　　解題指導(dǎo)：(1)拋物線(xiàn)經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，則可將點(diǎn)(0，0)代人函數(shù)表達(dá)式；再根據(jù)頂點(diǎn)在第四象限則可確定函數(shù)的表達(dá)式． 　　(2)將矩形ABCD的周長(zhǎng)表示出來(lái)，再根據(jù)其特點(diǎn)求出最大值．