Question

如果三角形有一邊上的中線長恰好等于這邊的長，那么稱這個三角形為“好玩三角形”．
（1）請用直尺和圓規(guī)畫一個“好玩三角形”；
（2）如圖在Rt△ABC中，∠C=90°，tanA=，求證：△ABC是“好玩三角形”；
（3））如圖2，已知菱形ABCD的邊長為a，∠ABC=2β，點P，Q從點A同時出發(fā)，以相同速度分別沿折線AB-BC和AD-DC向終點C運動，記點P經過的路程為s．
①當β=45°時，若△APQ是“好玩三角形”，試求的值；
②當tanβ的取值在什么范圍內，點P，Q在運動過程中，有且只有一個△APQ能成為“好玩三角形”．請直接寫出tanβ的取值范圍．
（4）（本小題為選做題，作對另加2分，但全卷滿分不超過150分）
依據（3）的條件，提出一個關于“在點P，Q的運動過程中，tanβ的取值范圍與△APQ是‘好玩三角形’的個數關系”的真命題（“好玩三角形”的個數限定不能為1）

Answer 1

【答案】分析：（1）先畫一條線段AB，再確定AB的中點O，過點O作一條線段OC使OC=AB，連接AC、BC，則△ABC是所求作的三角形；
（2）取AC的中點D，連接BD，設BC=x，根據條件可以求出AC=2x，由三角函數可以求出BD=2x，從而得出AC=BC，從而得出結論；
（3）①當β=45°時，分情況討論，P點在AB上時，△APQ是等腰直角三角形，不可能是“好玩三角形”，當P在BC上時，延長AB交QP的延長線于點F，可以求出分情況討論，就可以求出，再分情況討論就可以求出當AE=PQ時，的值，當AP=QM時，可以求出的值；
②根據①求出的兩個的值就可以求出tanβ的取值范圍；
（4）由（3）可以得出0＜tanβ＜，△APQ為“好玩三角形”的個數為2就是真命題．
解答：解：（1）如圖1，①作一條線段AB，
②作線段AB的中點O，
③作線段OC，使OC=AB，
④連接AC、BC，
∴△ABC是所求作的三角形．

（2）如圖2，取AC的中點D，連接BD
∵∠C=90°，tanA=，
∴
∴設BC=x，則AC=2x，
∵D是AC的中點，
∴CD=AC=x
∴BD===2x，
∴AC=BD
∴△ABC是“好玩三角形”；

（3）①如圖3，當β=45°，點P在AB上時，
∴∠ABC=2β=90°，
∴△APQ是等腰直角三角形，不可能是“好玩三角形”，
當P在BC上時，連接AC交PQ于點E，延長AB交QP的延長線于點F，
∵PC=CQ，
∴∠CAB=∠ACP，∠AEF=∠CEP，
∴△AEF∽△CEP，
∴．
∵PE=CE，
∴．
Ⅰ當底邊PQ與它的中線AE相等時，即AE=PQ時，
，
∴，
Ⅱ當腰AP與它的中線QM相等，即AP=QM時，
作QN⊥AP于N，如圖4
∴MN=AN=MP．
∴QN=MN，
∴tan∠APQ=，
∴tan∠APE===，
∴=
②由①可知，當AE=PQ和AP=QM時，有且只有一個△APQ能成為“好玩三角形”，
∴＜tanβ＜2時，有且只有一個△APQ能成為“好玩三角形”．

（4）由（3）可以知道0＜tanβ＜，
則在P、Q的運動過程中，使得△APQ成為“好玩三角形”的個數為2．
點評：本題是一道相似形綜合運用的試題，考查了相似三角形的判定及性質的運用，勾股定理的運用，等腰直角三角形的性質的運用，等腰三角形的性質的運用，銳角三角形函數值的運用，解答時靈活運用三角函數值建立方程求解是解答的關鍵．