Question

【題目】（原題）已知直線AB∥CD，點P為平行線AB，CD之間的一點．如圖1，若∠ABP=50°，∠CDP=60°，BE平分∠ABP，DE平分∠CDP，求∠BED的度數(shù)．

（探究）如圖2，當點P在直線AB的上方時，若∠ABP=α，∠CDP=β，∠ABP和∠CDP的平分線交于點E1，∠ABE1與∠CDE1的角平分線交于點E2，∠ABE2與∠CDE2的角平分線交于點E3，…以此類推，求∠En的度數(shù)．

（變式）如圖3，∠ABP的角平分線的反向延長線和∠CDP的補角的角平分線交于點E，試猜想∠P與∠E的數(shù)量關系，并說明理由．

Answer 1

【答案】【原題】55°；【探究】∠En的度數(shù)為（β﹣α）；【變式】∠DEB=90°﹣∠P．理由見解析.

【解析】

過E作EF∥AB，依據(jù)平行線的性質(zhì)，即可得到∠BED=∠BEF+∠DEF=∠ABE+∠CDE，依據(jù)角平分線即可得出∠BED的度數(shù)；【探究】依據(jù)平行線的性質(zhì)以及三角形外角性質(zhì)，求得∠E1=（β﹣α），∠E2=（β﹣α），∠E3=（β﹣α），以此類推∠En的度數(shù)為（β﹣α）；【變式】過E作EG∥AB，進而得出∠DEB=∠BEG+∠DEG=∠MBE+∠FDE=∠ABQ+∠FDE，再根據(jù)平行線的性質(zhì)以及三角形外角性質(zhì)，即可得到∠DEB=90°﹣（∠CDP﹣∠ABP）=90°﹣（∠AHP﹣∠ABP）=90°﹣∠P．

如圖1，過E作EF∥AB，而AB∥CD，

∴AB∥CD∥EF，

∴∠ABE=∠FEB，∠CDE=∠FED，

∴∠BED=∠BEF+∠DEF=∠ABE+∠CDE，

又∵∠ABP=50°，∠CDP=60°，BE平分∠ABP，DE平分∠CDP，

∴∠ABE=∠ABP=25°，∠CDE=∠CDP=30°，

∴∠BED=25°+30°=55°，

故答案為：55°；

【探究】

如圖2，∵∠ABP和∠CDP的平分線交于點E1，

∴∠ABE1=∠ABP=α，∠CDE1=∠CDP=，

∵AB∥CD，

∴∠CDF=∠AFE1=，

∴∠E1=∠AFE1﹣∠ABE1=﹣α=（β﹣α），

∵∠ABE1與∠CDE1的角平分線交于點E2，

∴∠ABE2=∠ABE1=α，∠CDE2=∠CDE1=，

∵AB∥CD，

∴∠CDG=∠AGE2=，

∴∠E2=∠AGE2﹣∠ABE2=（β﹣α），

同理可得，∠E3=（β﹣α），

以此類推，∠En的度數(shù)為（β﹣α）．

【變式】

∠DEB=90°﹣∠P．理由如下：

如圖3，過E作EG∥AB，而AB∥CD，

∴AB∥CD∥EG，

∴∠MBE=∠BEG，∠FDE=∠GED，

∴∠DEB=∠BEG+∠DEG=∠MBE+∠FDE=∠ABQ+∠FDE，

又∵∠ABP的角平分線的反向延長線和∠CDP的補角的角平分線交于點E，

∴∠FDE=∠PDF=（180°﹣∠CDP），∠ABQ=∠ABP，

∴∠DEB=∠ABP+（180°﹣∠CDP）=90°﹣（∠CDP﹣∠ABP），

∵AB∥CD，

∴∠CDP=∠AHP，

∴∠DEB=90°﹣（∠CDP﹣∠ABP）=90°﹣（∠AHP﹣∠ABP）=90°﹣∠P．