Question

如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，直徑BD交AC于E，過O作FG⊥AB，交AC于F，交AB于H，交⊙O于G．

（1）求證：OF?DE=2OE?OH；

（2）若⊙O的半徑為12，且OE：OF：OD=2：3：6，求陰影部分的面積．（結(jié)果保留根號）

 

Answer 1

【答案】

（1）由BD是直徑，根據(jù)圓周角定理，可得∠DAB=90°，又由FG⊥AB，可得FG∥AD，即可判定△FOE∽△ADE，根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊成比例，即可得，然后由O是BD的中點，DA∥OH，可得AD=2OH，則可證得OF?DE=OE?2OH；（2）

【解析】

試題分析：（1）由BD是直徑，根據(jù)圓周角定理，可得∠DAB=90°，又由FG⊥AB，可得FG∥AD，即可判定△FOE∽△ADE，根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊成比例，即可得，然后由O是BD的中點，DA∥OH，可得AD=2OH，則可證得OF?DE=OE?2OH；

（2）由⊙O的半徑為12，且OE：OF：OD=2：3：6，即可求得OE，DE，OF的長，由，求得AD的長，又由在Rt△ABC中，OB=2OH，可求得∠BOH=60°，繼而可求得BH的長，又由S_陰影=S_扇形GOB-S_△OHB，即可求得答案．

（1）∵BD是直徑，

∴∠DAB=90°．

∵FG⊥AB，

∴DA∥FO．

∴△FOE∽△ADE．

∴，即OF?DE=OE?AD

∵O是BD的中點，DA∥OH，

∴AD=2OH

∴OF?DE=OE?2OH；

（2）∵⊙O的半徑為12，且OE：OF：OD=2：3：6，

∴OE=4，ED=8，OF=6

代入（1）中OF?DE=OE?AD，得AD=12．

∴OH=AD=6．

在Rt△OHB中，OB=2OH，

∴∠OBH=30°，

∴∠BOH=60°．

∴BH=BO?sin60°=

考點：相似三角形的判定與性質(zhì)，圓周角定理，平行線等分線段定理，銳角三角函數(shù)的定義

點評：此題綜合性較強，難度適中，注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，證得△FOE∽△ADE是解此題的關(guān)鍵．