Question

如圖，已知直線與y軸交于點A，與x軸交于點D，拋物線與直線交于A、E兩點，與x軸交于B、C兩點，且B點坐標為 (1，0)。

⑴求該拋物線的解析式；

⑵動點P在x軸上移動，當△PAE是直角三角形時，求點P的坐標。

⑶在拋物線的對稱軸上找一點M，使|AM-MC|的值最大，求出點M的坐標。

Answer 1

（1）將A（0，1）、B（1，0）坐標代入得解得

∴拋物線的解折式為

（2）設點E的橫坐標為m，則它的縱坐標為   即 E點的坐標（，）又∵點E在直線上 ∴  解得（舍去），∴E的坐標為（4，3）

（Ⅰ）當A為直角頂點時

過A作AP₁⊥DE交x軸于P₁點，設P₁（a,0）   易知D點坐標為（－2，0）    由Rt△AOD∽Rt△POA得

即，∴a＝   ∴P₁（，0）

（Ⅱ）同理，當E為直角頂點時，P₂點坐標為（，0）

（Ⅲ）當P為直角頂點時，過E作EF⊥x軸于F，設P₃（、）由∠OPA+∠FPE＝90°，得∠OPA＝∠FEP    Rt△AOP∽Rt△PFE  

由得 解得，

∴此時的點P₃的坐標為（1，0）或（3，0）

綜上所述，滿足條件的點P的坐標為（，0）或（1，0）或（3，0）或（，0）

（Ⅲ）拋物線的對稱軸為…（9分）∵B、C關于x＝對稱    ∴MC＝MB

要使|AM-MC|最大，即是使|AM-MB|最大 

由三角形兩邊之差小于第三邊得，當A、B、M在同一直線上時|AM-MB|的值最大．易知直線AB的解折式為∴由  得 ∴M（，－）……