Question

（2011•臨沂）如圖，已知拋物線經(jīng)過A（﹣2，0），B（﹣3，3）及原點O，頂點為C．
（1）求拋物線的解析式；
（2）若點D在拋物線上，點E在拋物線的對稱軸上，且A、O、D、E為頂點的四邊形是平行四邊形，求點D的坐標；
（3）P是拋物線上的第一象限內(nèi)的動點，過點P作PMx軸，垂足為M，是否存在點P，使得以P、M、A為頂點的三角形△BOC相似？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解（1）設(shè)拋物線的解析式為y=ax²+bx+c（a≠0），且過A（﹣2，0），B（﹣3，3），O（0，0）可得
，
解得．
故拋物線的解析式為y=x²+2x；
（2）①當(dāng)AE為邊時，
∵A、O、D、E為頂點的四邊形是平行四邊形，
∴DE=AO=2，
則D在x軸下方不可能，
∴D在x軸上方且DE=2，
則D₁（1，3），D₂（﹣3，3）；
②當(dāng)AO為對角線時，則DE與AO互相平方，
因為點E在對稱軸上，
且線段AO的中點橫坐標為﹣1，
由對稱性知，符合條件的點D只有一個，與點C重合，即C（﹣1，﹣1）
故符合條件的點D有三個，分別是D₁（1，3），D₂（﹣3，3），C（﹣1，﹣1）；

（3）存在，
如上圖：∵B（﹣3，3），C（﹣1，﹣1），根據(jù)勾股定理得：
BO²=18，CO²=2，BC²=20，
∴BO²+CO²=BC²．
∴△BOC是直角三角形．
假設(shè)存在點P，使以P，M，A為頂點的三角形與△BOC相似，
設(shè)P（x，y），由題意知x＞0，y＞0，且y=x²+2x，
①若△AMP∽△BOC，則=，
即 x+2=3（x²+2x）
得：x₁=，x₂=﹣2（舍去）．
當(dāng)x=時，y=，即P（，）．
②若△PMA∽△BOC，則=，
即：x²+2x=3（x+2）
得：x₁=3，x₂=﹣2（舍去）
當(dāng)x=3時，y=15，即P（3，15）．
故符合條件的點P有兩個，分別是P（，）或（3，15）．

解析