Question

（2013•蕭山區(qū)模擬）二次函數(shù)y1=a(x+2)2-3與y2=

1

2

x2-3x+

11

2

的圖象的一個交點(diǎn)為A（1，3），過點(diǎn)A作x軸的平行線，分別交兩條拋物線于點(diǎn)B，C（點(diǎn)B在點(diǎn)C的左側(cè)）．則下列結(jié)論：
（1）無論x取何值，y₂的值總是正數(shù)；（2）當(dāng)x=0時，y₂-y₁=4；（3）當(dāng)x≥-2時，y₁、y₂都隨x的增大而增大；（4）2AB=3AC；
其中正確的是（　　）

A．（1）（2）

B．（2）（3）

C．（1）（3）（4）

D．（1）（4）

Answer 1

分析：把y₂配成頂點(diǎn)式，根據(jù)二次函數(shù)的最值問題對①進(jìn)行判斷；把A點(diǎn)坐標(biāo)代入y₁，求出a確定y₁的關(guān)系式，然后把x=0分別代入兩個函數(shù)解析式中求出對應(yīng)的函數(shù)值，再計(jì)算它們的差，則可對②進(jìn)行判斷；根據(jù)二次函數(shù)的增減性對③進(jìn)行判斷；根據(jù)拋物線的對稱性確定B點(diǎn)和C點(diǎn)坐標(biāo)，則可計(jì)算出AB與AC，然后對④進(jìn)行判斷．

解答：解：y₂=

1

2

（x-3）²+

3

2

，則拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（3，

3

2

），而a=

1

2

＞0，拋物線開口向上，則函數(shù)的最小值為

3

2

，所以①正確；
把A（1，3）代入y1=a(x+2)2-3得9a-3=3，解得a=

2

3

，則y₁=

2

3

（x+2）²-3，當(dāng)x=0，y₁=-

1

3

，y₂=

11

2

，則y₂-y₁=

35

6

，所以②錯誤；
當(dāng)x≥-2時，y₁隨x的增大而增大；當(dāng)x≥3時，y₂隨x的增大而增大，所以當(dāng)x≥3時，y₁、y₂都隨x的增大而增大，所以③錯誤；
因?yàn)閥₁=

2

3

（x+2）²-3的對稱軸為直線x=-2，所以B點(diǎn)坐標(biāo)為（-5，3）；因?yàn)閥₂=

1

2

（x-3）²+

3

2

的對稱軸為直線x=3，所以C點(diǎn)坐標(biāo)為（5，3）；則AB=6，AC=4，所以2AB=3AC，所以④正確．
故選D．

點(diǎn)評：本題考查了二次函數(shù)的圖象與系數(shù)的關(guān)系：二次函數(shù)y=ax²+bx+c（a≠0）的圖象為拋物線，當(dāng)a＞0，拋物線開口向上；對稱軸為直線x=-b2a；拋物線與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（0，c）；當(dāng)b²-4ac＞0，拋物線與x軸有兩個交點(diǎn)；當(dāng)b²-4ac=0，拋物線與x軸有一個交點(diǎn)；當(dāng)b²-4ac＜0，拋物線與x軸沒有交點(diǎn)．