Question

如圖，已知y₁=k₁x+k₁（k₁≠0）與反比例函數(shù)y2=

k2

x

(k2≠0)的圖象交于點(diǎn)A、C，其中A點(diǎn)坐標(biāo)（1，1）．
（1）求反比例函數(shù)的解析式；
（2）根據(jù)圖象寫出在第一象限內(nèi)，當(dāng)取何值時(shí)，y₁＜y₂？
（3）若一次函數(shù)y₁=k₁x+k₁與x軸交于B點(diǎn)，連接OA，求△AOB的面積：
（4）在（3）的條件下，在x軸上是否存在點(diǎn)P，使△AOP是等腰三角形？若存在，請(qǐng)寫出P點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）將A的坐標(biāo)代入反比例解析式中求出k₂的值，即可確定出反比例解析式；
（2）由一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點(diǎn)A的橫坐標(biāo)，將x大于0分為兩個(gè)范圍，找出反比例函數(shù)在一次函數(shù)圖象上方時(shí)x的范圍即可；
（3）將A的坐標(biāo)代入一次函數(shù)解析式中，求出k₁的值，確定出一次函數(shù)解析式，令y=0求出x的值，確定出B的坐標(biāo)，得到OB的長(zhǎng)，三角形AOB的面積由OB與A縱坐標(biāo)乘積的一半即可求出；
（4）存在．分AO為底邊和AO為腰兩種情況考慮：由A的坐標(biāo)，利用勾股定理求出OA的長(zhǎng)，利用等腰三角形的性質(zhì)分別求出滿足題意的P點(diǎn)坐標(biāo)即可．

解答：解：（1）將A（1，1）代入反比例解析式得：1=

k2

1

，即k₂=1，
則反比例解析式為y₂=

1

x

；
（2）由圖象可得：當(dāng)0＜x＜1時(shí)，y₁＜y₂；
（3）將A（1，1）代入一次函數(shù)解析式得：1=k₁+k₁，即k₁=

1

2

，
∴一次函數(shù)解析式為y₁=

1

2

x+

1

2

，
令y=0，得x=-1，∴B（-1，0），即OB=1，
則S_△AOB=

1

2

×OB×y_{A縱坐標(biāo)}=

1

2

×1×1=

1

2

；
（4）存在．
當(dāng)OA為底邊時(shí)，此時(shí)△AOP₁為等腰直角三角形，P₁（1，0）；
當(dāng)OA為腰時(shí)，以O(shè)為圓心，OA長(zhǎng)為半徑畫弧，與x軸交于P₃，P₂，
∵A（1，1），
∴OA=

12+12

=

2

，
∴OP₃=OP₂=

2

，
此時(shí)P₂（

2

，0），P₃（-

2

，0）；
以A為圓心AO為半徑畫弧，與x軸交于P₄，
∵OA=AP₄，AP₁⊥OP₄，
∴OP₁=P₁P₄=1，
∴OP₄=2，此時(shí)P₄（2，0），
綜上，P的坐標(biāo)為（1，0）或（

2

，0）或（-

2

，0）或（2，0）．

點(diǎn)評(píng)：此題屬于反比例函數(shù)綜合題，涉及的知識(shí)有：坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，待定系數(shù)法確定函數(shù)解析式，以及等腰三角形的性質(zhì)，利用了分類討論及數(shù)形結(jié)合的思想，靈活運(yùn)用待定系數(shù)法是解本題的關(guān)鍵．