(2007•濟南)已知:如圖,O為平面直角坐標系的原點,半徑為1的⊙B經(jīng)過點O,且與x,y軸分交于點A,C,點A的坐標為(-,0),AC的延長線與⊙B的切線OD交于點D.
(1)求OC的長和∠CAO的度數(shù);
(2)求過D點的反比例函數(shù)的表達式.

【答案】分析:(1)在直角三角形ACO中,根據(jù)已知條件可以求得OA,AC的長,再根據(jù)勾股定理求得OC的長,根據(jù)銳角三角函數(shù)的概念求得∠CAO的度數(shù);
(2)要求反比例函數(shù)的表達式,需要求得點D的坐標.作DE⊥x軸于點E,根據(jù)對頂角相等和弦切角定理可以求得∠DOE=60°.所以只需再求得OD的長,根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)可以求得∠ADO=30°.則OD=OA.從而求得OE,DE的長,再根據(jù)點D的坐標求得反比例函數(shù)的表達式.
解答:解:(1)∵∠AOC=90°,
∴AC是⊙B的直徑.
∴AC=2.
又∵點A的坐標為(-,0),
∴OA=

∴sin∠CAO=
∴∠CAO=30°;

(2)如圖,連接OB,過點D作DE⊥x軸于點E,
∵OD為⊙B的切線,
∴OB⊥OD.
∴∠BOD=90°.
∵AB=OB,
∴∠AOB=∠OAB=30°.
∴∠AOD=∠AOB+∠BOD=30°+90°=120°.
在△AOD中,∠ODA=180°-120°-30°=30°=∠OAD.
∴OD=OA=
在Rt△DOE中,∠DOE=180°-120°=60°,
∴OE=OD•cos60°=OD=,ED=OD•sin60°=
∴點D的坐標為
設(shè)過D點的反比例函數(shù)的表達式為,


點評:此題主要是運用了30度的直角三角形的性質(zhì)、切線的性質(zhì)和等腰三角形的判定和性質(zhì),綜合性較強,同學們要重點掌握.
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C.90°
D.120°

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