Question

如圖，D為△ABC中線AM的中點(diǎn)，過M作AB、AC邊的垂線，垂足分別為P、Q，過P、Q分別作DP、DQ的垂線交于點(diǎn)N．
（1）求證：PN=QN；
（2）求證：MN⊥BC．

Answer 1

分析：（1）要證明PN=QN，只有證明這兩條線段所在的三角形全等就可以了，連接DN，利用斜邊直角邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等就可以了．
（2）△BPM和△CQM是直角三角形，由條件知道MB=CM，取BM、CM的中點(diǎn)S、T，連接PS、QT可以得到PS=QT，利用角的關(guān)系證明∠SPN=∠TQN，再證明△SPN≌△TQN，從而得到NS=NT，利用等腰三角形的三線合一的性質(zhì)證明MN⊥BC．

解答：證明：（1）方法一：
連接DN
∵D為△ABC中線AM的中點(diǎn)
∴AD=MD，MB=CM
∵M(jìn)P⊥AB，MQ⊥AC
∴∠APM=∠AQM=90°
∴△APM、△AMQ是直角三角形
∴PD=

1

2

AM，QD=

1

2

AM
∴PD=QD
∴Rt△DPN≌Rt△DQN（HL）
∴NP=PQ；
方法二：
∵M(jìn)P⊥AB，MQ⊥AC
∴∠APM=∠AQM=90°，
所以∠APM+∠AQM=180°，所以四邊形APMQ為圓內(nèi)接四邊形．
∵D為AM的中點(diǎn)，∴PD，DQ為以D為圓心的四邊形APMQ內(nèi)接圓的半徑．
∵PN⊥PD，QN⊥QD，
∴PN，NQ為圓的兩條切線，
∴PN=NQ．

（2）取BM、CM的中點(diǎn)S、T，連接SP、SN、TQ、TN
∴SP=

1

2

BM=

1

2

MC=TQ
∴∠SPN=90°-∠BPS-∠NPM=90°-∠B-∠DPA=90°-∠B-∠BAM=90°-∠AMC=90°-∠DMQ-∠QMT=90°-∠DQM-∠MQT=∠TQN
∴△SPN≌△TQN
∴SN=TN
∵SM=TM
∴NM⊥BC

點(diǎn)評(píng)：本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，等腰三角形的判定與性質(zhì)．