Question

在正方形ABCD中：
（1）如圖①，點E、F分別在BC、CD上，且AE⊥BF，垂足為M．求證：AE=BF．
（2）如圖②，如果點E、F、G、H分別在BC、CD、DA、AB上，且GE⊥HF，垂足M．那么GE、HF相等嗎？證明你的結論．
（3）若將②中的條件“GE⊥HF”改為GE=HF，那么GE、HF有什么位置關系？證明你的結論．
（4）如圖③，在等邊三角形ABC中，點E、F分別在BC、CA上，且BE=CF，你能猜想∠AMF的度數(shù)嗎？證明你的結論．

Answer 1

分析：有三角形的直接證明三角形全等，沒三角形的構造直角三角形，利用正方形的性質(zhì)證明三角形全等；對于第4問也是證明三角形全等，再用角等量代換求解．

解答：（1）證明：∵AE⊥BF，
∴∠BAE+∠ABM=90°，∠CBF+∠ABM=90°，
∴∠BAE=∠CBF，
在△BAE和△CBF中

∠BAE=∠CBF ∠ABC=∠BCF AB=BC

，
△BAE≌△CBF（AAS），
∴AE=BF；


（2）結論：HF=GE
分別過G、H作GT⊥BC、HN⊥CD，
∴GT⊥HN，
∴∠FHN+∠HPO=90°，∠EGT+∠GPM=90°，∠GPM=∠HPO，
∴∠FHN=∠EGT，
∵HN=GT，∠GTE=∠NHF=90°，
∴△GTE≌△HNF，
∴GE=HF；

（3）結論：GE⊥HF
分別過G、H作GT⊥BC、HN⊥CD，
∵GT=HN GE=HF，
∴直角三角形HFN≌直角三角形GTE，
∴∠FHN=∠EGT，
又∵∠FHN+∠HPO=90°，
∠HPO=∠GPM，
∴∠GPM+∠EGT=90°，
∴∠GMP=90°，
∴GE⊥HF；

（4）結論：∠AMF=60°．
在△ABE和△BCF中

AB=BC ∠ABC=∠ BE=CF

BCF，
∴△ABE≌△BCF（SAS），
∴∠BAE=∠CBF，
∴∠ABE=∠BME=60°，
∴∠AMF=∠BME=60°．

點評：本題考查正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)以及作輔助線的能力和適時等量代換的能力．