已知拋物線y=x2-(m+3)x+
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(m+1).
(1)小明發(fā)現(xiàn)無論m為何值時,拋物線總與x軸相交,你知道為什么嗎?請給予說明.
(2)如圖,拋物線與x軸的正半軸交于M,N兩點,且線段MN的長度為2,求此拋物線的解析式.
(3)如圖,(2)中的拋物線與y軸交于點A,過點A的直線y=x+b與拋物線的另一個交點為點B,與拋物線的對稱軸交于點D,點C為拋物線的頂點.問在線段AB上是否存在一點P,過點P精英家教網(wǎng)作x軸的垂線交拋物線于點E,使四邊形DCEP為平行四邊形?若存在,請求出該平行四邊形的面積;若不存在,說明理由.
分析:(1)運用判別式進行判斷即可;
(2)設M(x1,0),則N(x2,0),由根與系數(shù)關系得x1+x2=m+3,x1•x2=
3
2
(m+1),再由|x1-x2|=2,兩邊平方,將兩根關系代入求m的值;
(3)存在.根據(jù)拋物線解析式求A點坐標及頂點C的坐標,確定直線y=x+b的解析式,再求D點坐標,得到CD的長,設過P點的直線為x=n,分別代入直線、拋物線解析式,可求P、E兩點的縱坐標,表示線段PE的長,根據(jù)PE=CD,列方程求n的值,再求平行四邊形的面積.
解答:解:(1)∵y=x2-(m+3)x+
3
2
(m+1)的判別式為
△=[-(m+3)]2-4×
3
2
(m+1)=m2+3>0,
∴無論m為何值時,拋物線總與x軸相交;

(2)設M(x1,0),則N(x2,0),
∵x1+x2=m+3,x1•x2=
3
2
(m+1),|x1-x2|=2,
∴兩邊平方,得(x1-x22=4,
即(x1+x22-4x1•x2=4,
將兩根關系代入,得(m+3)2-4×
3
2
(m+1)=4,
解得m=±1,
當m=-1時,x1•x2=
3
2
(m+1)=0,不符合題意,舍去,
∴m=1,y=x2-4x+3;

(3)存在.
∵y=x2-4x+3=(x-2)2-1,
∴A(0,3),C(2,-1),
∴直線AB:y=x+3,D(2,5),
則CD=5-(-1)=6,
設過P點的直線為x=n,
則P(n,n+3),E(n,n2-4n+3),
∴PE=(n+3)-(n2-4n+3)=-n2+5n,
當四邊形DCEP為平行四邊形時,PE=CD,
即-n2+5n=6,解得n=2或3,當n=2時,PE與CD重合,舍去,
當n=3時,?CDPE的面積=(-n2+5n)×(3-2)=6.
點評:本題考查了二次函數(shù)的綜合運用.關鍵是根據(jù)拋物線與x軸的交點橫坐標和根與系數(shù)的關系,列方程求待定系數(shù)m的值.
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