Question

已知：四邊形ABCD中，AD∥BC，AD=AB=CD，∠BAD=120°，點E是射線CD上的一個動點（與C、D不重合），將△ADE繞點A順時針旋轉120°后，得到△ABE'，連接EE'.

（1）如圖1，∠AEE'=       °；

（2）如圖2，如果將直線AE繞點A順時針旋轉30°后交直線BC于點F，過點E作EM∥AD交直線AF于點M，寫出線段DE、BF、ME之間的數量關系；

（3）如圖3，在（2）的條件下，如果CE=2，AE=，求ME的長.

Answer 1

解：(1) 30°.

        (2)當點E在線段CD上時，；   

           當點E在CD的延長線上，

           時，；

           時，； 

           時，.

       (3)作于點G, 作于點H.

          由AD∥BC，AD=AB=CD，∠BAD=120°，得∠ABC=∠DCB=60°，

易知四邊形AGHD是矩形和兩個全等的直角三角形.

          則GH=AD , BG=CH.

          ∵,

          ∴點、B、C在一條直線上.

設AD=AB=CD=x,則GH=x,BG=CH=,.

作于Q.

在Rt△EQC中，CE=2, ,

∴, .

∴E'Q=.

          作于點P.

          ∵△ADE繞點A順時針旋轉120°后，得到△ABE'.

∴△A EE'是等腰三角形，.

∴在Rt△AP E'中，E'P=.

∴EE'=2 E'P=.    

∴在Rt△EQ E'中，E'Q=.

∴.

∴.          

∴，.

∴

          在Rt△E'AF中,,

   ∴Rt△AG E'∽Rt△FA E'.

   ∴

∴.

∴.

由（2）知：.[來源:Z*xx*k.Com]

∴.