Question

當(dāng)直角三角形的直角頂點(diǎn)P在正方形ABCD對(duì)角線AC上運(yùn)動(dòng)（P與A、C不重合）且一直角邊始終過點(diǎn)D，另一直角邊與射線BC交于點(diǎn)E
（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)E與BC邊相交時(shí)，
①證明：△PBE為等腰三角形；
②寫出線段AP、PC與EC之間的等量關(guān)系

 

（并給出證明過程）
（2）當(dāng)點(diǎn)E在BC的延長(zhǎng)線上時(shí)，請(qǐng)完成圖2，并判斷（1）中的①、②結(jié)論是否分別成立？若不成立，寫出相應(yīng)的結(jié)論（不必證明）

Answer 1

考點(diǎn)：正方形的性質(zhì),全等三角形的判定與性質(zhì),等腰三角形的判定與性質(zhì)

專題：探究型

分析：（1）①先求證△PBC≌△PDC得∠PBC=∠PDC，由∠BCD=∠DPE=90°，∠PEB=∠PDC，∠PEB=∠PBC即可證明PB=PE，即△PBE為等腰三角形；
②過E作EA′垂直于BC，交AC于A'，由平行線等分線段定理得PA=PA′，進(jìn)一步利用等腰直角三角形的性質(zhì)求得結(jié)論；
（2）類比于（1）的結(jié)論得出即可．

解答：解：（1）①∵四邊形ABCD是正方形，
∴BC=DC，∠BCP=∠DCP=45°，∠BCD=90°，
在△PBC和△PDC中，

BD=DC ∠BCP=∠DCP=45° PC=PC

，
∴△PBC≌△PDC（SAS）．
∴∠PBC=∠PDC．
∵∠BCD=∠DPE=90°
∴∠PDC+∠PEC=180°，又∠PEB+∠PEC=180°
∴∠PEB=∠PDC，
∴∠PEB=∠PBC
∴PB=PE
∴△PBE為等腰三角形．
②EC=

PC-PA

2

證明：如圖1，
過P作PF垂直于BC，過E作EA′∥PF交AC于A'，
∵BF=EF，EA′∥PF∥AB，
∴PA=PA′，
在△A′EC中∠A′EC=90°，∠A′CE=45°，
∴△A′EC為等腰直角三角形，
∴A′C=

2

CE，
∴EC=

PC-PA′

2

=

PC-PA

2

．

（2）結(jié)論①仍成立；
結(jié)論②不成立，此時(shí)②中三條線段的數(shù)量關(guān)系是EC=

PA-PC

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了正方形的性質(zhì)，考查了等腰三角形的判定，本題中求證∠PEB=∠PBC是解題的關(guān)鍵．