Question

已知在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，點D是邊AB上一點，AE⊥AB，且AE=BD，DE與AC相交于點F．
（1）若點D是AB的中點（如圖1），試判斷△CDE的形狀，并證明你的結(jié)論；
（2）若點D不是AB的中點（如圖2），那么（1）中的結(jié)論是否仍然成立？如果一定成立，請加以證明；如果不一定成立，請說明理由；
（3）若AD=AC，那么△AEF是______三角形．

Answer 1

解：（1）△CDE是等腰直角三角形．…
在△ABC中，∠ACB=∠90°，AC=BC，
∵D是AB的中點，
∴AD=BD=CD，且CD⊥AB，
又AE=BD，
∴AE=AD=CD，…
∵AE⊥AB，
∴AE∥CD，AE=CD，
∴四邊形AECD是平行四邊形（一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形），
又AE=AD，
∴平行四邊形AECD是矩形（一組鄰邊相等的平行四邊形是矩形），
∵AE⊥AB，
∴∠EAD是直角，
∴矩形AECD是正方形（有一個角是直角的矩形是正方形），
∴△CDE是等腰直角三角形；

（2）（1）中的結(jié)論仍然成立，即△CDE是等腰直角三角形 …
∵∠ACB=90°，AC=BC，
∴∠ABC=∠BAC=45°，
∵AE⊥AB，
∴∠CAE=90°-45°=45°，
∴∠CAE=∠CBD，
在△AEC與△BDC中，
∴△AEC≌△BDC（SAS），
∴CE=CD（全等三角形對應(yīng)邊相等），∠ACE=∠BCD（全等三角形對應(yīng)角相等），…
又∵∠ACB=∠ACD+∠BCD=∠90°，
∴∠ECD=∠ACD+∠ACE=∠90°，…
∴△CDE是等腰直角三角形；

（3）∵AD=AC，∠BAC=45°，
∴∠ACD=（180°-45°）=67.5°，
∵△CDE是等腰直角三角形，
∴∠CDE=45°，
∴∠CFD=180°-∠CDE-∠ACD=180°-45°-67.5=67.5°，
∴∠AFE=∠CFD=67.5°，
∵∠CAE=45°，
∴∠AEF=180°-∠CAE-∠AFE=180°-45°-67.5°=67.5°，
∴∠AEF=∠AFE，
∴△AEF是等腰三角形． …
注：如有不同解法請相應(yīng)給分
分析：（1）根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)與直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得CD⊥AB，且CD=AD=BD，然后證明四邊形AECD是正方形，根據(jù)正方形的一條對角線把正方形分成兩個等腰直角三角形即可證明；
（2）根據(jù)題意可得△ABC是等腰直角三角形，所以∠B=∠BAC=45°，又∵AE⊥AB，求出∠CAE=45°，然后證明△ACE和△BCD全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等CE=CD，對應(yīng)角相等∠ACE=∠BCD，然后證明∠ECD=∠ACB=90°，即可得到△CDE是等腰直角三角形；
（3）根據(jù)等腰三角形的兩底角相等求出∠ACD的度數(shù)，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和等于180°分別求出∠CFD與∠AEF的度數(shù)，根據(jù)角度相等即可得到△AEF是等腰三角形．
點評：本題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)與判定，全等三角形的判定與性質(zhì)，屬于綜合題，但難度不大，仔細(xì)分析圖形便不難解決．