在等腰梯形ABCD中,AD∥BC,AD=3,AB=CD=4,BC=5,∠B的平分線交DC于點(diǎn)E,交AD的延長線于點(diǎn)F.
(1)如圖(1),若∠C的平分線交BE于點(diǎn)G,寫出圖中所有的相似三角形(不必證明);
(2)在(1)的條件下求BG的長;
(3)若點(diǎn)P為BE上動點(diǎn),以點(diǎn)P為圓心,BP為半徑的⊙P與線段BC交于點(diǎn)Q(如圖(2)),請直接寫出當(dāng)BP取什么范圍內(nèi)值時(shí),①點(diǎn)A在⊙P內(nèi);②點(diǎn)A在⊙P內(nèi)而點(diǎn)E在⊙P外.
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分析:(1)利用平行線的性質(zhì)和角平分線定義找到相等的角,進(jìn)一步根據(jù)兩角對應(yīng)相等證明三角形相似;
(2)根據(jù)平行線的性質(zhì)和角平分線定義,得∠ABE=∠AFB,則AB=AF=4,則DF=1;根據(jù)平行線分線段成比例定理求得DE和CE的長;根據(jù)等腰梯形的性質(zhì)和角平分線定義,得BG=CG;設(shè)BG=CG=x,根據(jù)△FDE∽△CGE,求得BG的長;
(3)根據(jù)點(diǎn)和圓的位置關(guān)系與數(shù)量之間的聯(lián)系進(jìn)行分析.
解答:解:(1)△ABF∽△GBC,△FDE∽△CGE∽△BCE.

(2)∵BE平分∠B,
∴∠ABE=∠EBC,
∵AD∥BC,
∴∠AFB=∠EBC,
∴∠ABE=∠AFB,
∴AB=AF.
∴AF=4,DF=1.
∵AD∥BC,
∴DF:BC=DE:EC,
∴DE=
2
3
,CE=
10
3

∵AD∥BC,AB=CD,
∴∠BCD=∠ABC.
∵CG平分∠BCD,BE平分∠ABC,
∴∠CBG=∠BCG,
∴BG=CG.
設(shè)BG=CG=x,則由△FDE∽△CGE,得
DF:CG=DE:GE,
∴GE=
2
3
x.
又由△CGE∽△BCE,得
EC2=EG•EB,
(
10
3
)2
=
2
3
x•(x+
2
3
x),
∴x=
10
,
即BG=
10

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(3)①連接AP,當(dāng)BP=AP時(shí),點(diǎn)A在圓P上,此時(shí)△ABP∽△ABF,求得BP=
4
5
10
,
即BP>AP時(shí),點(diǎn)A在⊙P內(nèi).
∴當(dāng)
4
5
10
<BP≤
10
時(shí),點(diǎn)A在⊙P內(nèi).
②根據(jù)①求得BE=
5
3
10

∴BP<
1
2
BE,即BP<
5
6
10
時(shí),點(diǎn)A在⊙P內(nèi)而點(diǎn)E在⊙P外
∴當(dāng)
4
5
10
<BP<
5
6
10
時(shí),點(diǎn)A在⊙P內(nèi)而點(diǎn)E在⊙P外.
點(diǎn)評:此題綜合考查了相似三角形的判定和性質(zhì)以及點(diǎn)和圓的位置關(guān)系與數(shù)量之間的聯(lián)系.
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7
cm.

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(1)求證:四邊形ACED是平行四邊形;
(2)若AD=4,BC=8,求梯形ABCD的面積.

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