Question

【題目】如圖，等腰Rt△ABC中，∠C=90°，D為AC上一點，連接BD，將線段BD繞點D順時針旋轉(zhuǎn)90°得到線段DE，DE與AB相交于點F，過點D作DG⊥AB，垂足為點G．若EF=5，CD=2 ，則△BDG的面積為 ．

Answer 1

【答案】96
【解析】解：過點E作EH⊥AC，垂足為H，連接AE．

∵∠BDE=90°，
∴∠BDC+∠EDH=90°．
又∵∠CBD+∠CDB=90°，
∴∠CBD=∠EDH．
在△BCD和△DHE中， ，
∴△BCD≌△DHE．
∴BC=DH，CD=EH=2 ．
∵△ABC為等腰直角三角形，
∴BC=CA．
∴AC=DH．
∴DC=AH=2 ．
∴AH=EH=2 ．
∴AE= =4．
∵∠BAC=45°，∠EAH=45°，
∴∠FAE=90°．
∴AF= =3．
∵∠BDF=∠FAE，∠BFD=∠EFA，
∴△BDF∽△EFA．
∴ ．
設(shè)DF=x，則BD=DE=x+5．
∴ ．
解得：x=15．
∴DF=15，BD=20．
∴BG= BD=16，DG= =12．
∴ = =96．
故答案為；96．
過點E作EH⊥AC，垂足為H，連接AE．先依據(jù)AAS證明△BCD≌△DHE，從而得到BC=DH，CD=EH=2 ，由等腰直角三角形的性質(zhì)可知BC=CA，從而可證明AH=EH=2 ，由勾股定理可知AE=4．在△EFA中由勾股定理可求得AF=3，由∠BDF=∠FAE，∠BFD=∠EFA可知△BDF∽△EFA，設(shè)DF=x，則BD=DE=x+5由相似三角形的性質(zhì)可知： ．解得：x=15．故此DF=15，BD=20，從而可求得BG= BD=16，DG= =12，最后依據(jù)三角形的面積公式求解即可．