Question

如圖，已知直線PA交⊙O于A、B兩點，AE是⊙O的直徑．點C為⊙O上一點，且AC平分∠PAE，過C作CD⊥PA，垂足為D.

(1)求證：CD為⊙O的切線；
(2)若DC＋DA＝6，⊙O的直徑為10，求AB的長度．

Answer 1

（1）通過角度的轉化和逆運算求證（2）6

解析試題分析：、(1)證明：連接OC， ……… 1分
∵點C在⊙O上，OA＝OC，∴∠OCA＝∠OAC. ……… 1分
∵CD⊥PA，∴∠CDA＝90°，
∴∠CAD＋∠DCA＝90°.
∵AC平分∠PAE，
∴∠DAC＝∠CAO.
∴∠DCO＝∠DCA＋∠ACO＝∠DCA＋∠CAO＝∠DCA＋∠DAC＝90°.   ……… 1分
又∵點C在⊙O上，OC為⊙O的半徑，
∴CD為⊙O的切線．                ……… 1分
(2)解：過O作OF⊥AB，垂足為F，   ……… 1分
∴∠OCD＝∠CDA＝∠OFD＝90°，
∴四邊形OCDF為矩形，          
∴OC＝FD，OF＝CD.
∵DC＋DA＝6，設AD＝x，則OF＝CD＝6－x.
∵⊙O的直徑為10，∴DF＝OC＝5，
∴AF＝5－x.                  ……… 1分
在Rt△AOF中，由勾股定理得
AF²＋OF²＝OA².
即(5－x)²＋(6－x)²＝25，
化簡得：x²－11x＋18＝0，
解得x＝2或x＝9.
由AD<DF，知0<x<5，故x＝2.   ……… 1分
∴AD＝2, AF＝5－2＝3.
∵OF⊥AB，由垂徑定理知，F(xiàn)為AB的中點，
∴AB＝2AF＝6.      
考點：二次函數(shù)的綜合題
點評：在解題時要能靈運用二次函數(shù)的圖象和性質求出二次函數(shù)的解析式，利用數(shù)形結合思想解題是本題的關鍵