Question

地面上有不在同一直線上的A、B、C三點(diǎn)，一只青蛙位于地面的P點(diǎn)（如圖），第一步青蛙從P點(diǎn)跳到P關(guān)于A的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)P₁，第二步從P₁跳到P₁關(guān)于B的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)P₂，第三步從P₂跳到P₂關(guān)于C的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)
P₃，第四步從P₃跳到P₃關(guān)于A的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)P₄，以下跳法類(lèi)推．問(wèn)青蛙跳完第1992步，落在地面的什么位置上？

Answer 1

解：根據(jù)中心對(duì)稱(chēng)變換性質(zhì)和三角形中位線定理，
有PP₂∥AB、PP₂=2AB，P₃P₅∥AB，P₃P₅=2AB，
∴PP₃P₅P₂是平行四邊形．又P₂C=CP₃，P₅C=CP₆，
∴P₆與點(diǎn)P重合．這表明青蛙每跳六步，就又回到點(diǎn)P的位置，而1992÷6=332（次），
可見(jiàn)青蛙跳完1992步，仍落在地面上起點(diǎn)P的位置．
分析：根據(jù)中心對(duì)稱(chēng)變換性質(zhì)和三角形中位線定理可得四邊形PP₃P₅P₂是平行四邊形，再找到青蛙跳動(dòng)的規(guī)律即可求出青蛙跳完第1992步，落在地面的什么位置上．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了三角形中位線定理：三角形的中位線平行于第三邊，并且等于第三邊的一半和中心對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)：①關(guān)于中心對(duì)稱(chēng)的兩個(gè)圖形能夠完全重合；②關(guān)于中心對(duì)稱(chēng)的兩個(gè)圖形，對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線都經(jīng)過(guò)對(duì)稱(chēng)中心，并且被對(duì)稱(chēng)中心平．這是一道著名的充滿趣味的智力題，青蛙每跳一次，就是完成一個(gè)中心對(duì)稱(chēng)變換．