(2003 浙江紹興)已知∠AOB=90°,OM是∠AOB的平分線,按以下要求解答問(wèn)題:
(1)將三角形的直角頂點(diǎn)P在射線OM上移動(dòng),兩直角邊分別與邊OA、OB交于點(diǎn)C、D.
①在圖中,證明:PC=PD;
②在圖中,點(diǎn)G是CD與OP的交點(diǎn),且PD,求△POD與△PDG的面積之比.
(2)將三角板的直角頂點(diǎn)P在射線OM上移動(dòng),一直角邊與邊OB交于點(diǎn)D,OD=1,另一直角邊與直線OA、直線OB分別交于點(diǎn)C、E,使以P、D、E為頂點(diǎn)的三角形與△OCD相似,在圖中作出圖形,試求OP的長(zhǎng).
解 (1)①如圖所示,過(guò)P作PH⊥OA,PN⊥OB,垂足分別為H,N,得∠ HPN=90°,∴∠HPC+∠CPN=90°.a) 而∠ CPN+∠NPD=90°,∴∠ HPC=∠NPD.∵ OM是∠AOB的平分線,∴ PH=PN.又∵∠ PHC=∠PND=90°,∴△ PCH≌△PDN.∴ PC=PD.②如圖所示,∵ PC=PD,∴∠PDG=45°.b) 而∠ POD=45°,∴∠ PDG=∠POD.又∵∠ GPD=∠DPO,∴△ POD∽△PDG.∴ ![]() (2) 如圖所示,若PC與邊OA相交.c) ∵∠ PDE>∠CDO,△ PDE∽△OCD.∴∠ CDO=∠PED.∴ CE=CD,而CO⊥ED.∴ OE=OD.∴ ![]() 若 PC與邊OA的反向延長(zhǎng)線相交,過(guò)P作PH⊥OA,PN⊥OB,垂足分別為HN,如圖所示.d) ∵∠ PDE>∠EDC,△ PDE∽△ODC.∴∠ PDE=∠ODC.∵∠ OEC<∠PED,∴∠ PDE=∠HCP.而 PH=PN,∴ Rt△PHC≌Rt△PND.∴ HC=ND,PC=PD.∴∠ PDC=45°.∴∠ PDO=∠PCH=22.5°.∴ OP=OC.設(shè) OP=x,則![]() ∴ ![]() 而 ![]() ∴ ![]() ∴ ![]() ![]() |
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