Question

如圖，點(diǎn)E是正方形ABCD邊BC的中點(diǎn)，H是BC延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，EG⊥AE于點(diǎn)E，交邊CD于G，
（1）求證：△ABE∽△ECG；
（2）延長(zhǎng)EG交∠DCH的平分線于F，則AE與EF的數(shù)量關(guān)系是

AE=EF

；
（3）若E為線段BC上的任意一點(diǎn)，則它們之間的關(guān)系是否還能成立？若成立，請(qǐng)給予證明；若不能成立，則舉一個(gè)反例．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)正方形性質(zhì)得出∠B=∠ECG=90°，求出∠BAE=∠CEG，根據(jù)相似三角形判定推出即可．
（2）過F作FM⊥BC于M，求出FM=CM，證△ABE∽△EMF，得出比例式，求出AB=BC=EM，BE=FM，根據(jù)勾股定理求出即可．
（3）過F作FM⊥BC于M，求出FM=CM，證△ABE∽△EMF，得出比例式，求出AB=BC=EM，BE=FM，根據(jù)勾股定理求出即可．

解答：（1）證明：∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠B=∠ECG=90°，
∵AE⊥EG，
∴∠AEG=90°，
∴∠BAE+∠BEA=90°，∠BEA+∠CEG=90°，
∴∠BAE=∠CEG，
∴△ABE∽△ECG．

（2）
解：AE=EF，
理由是：過F作FM⊥BC于M，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB=BC，
∵∠ECG=90°，
∴∠DCM=90°，
∵CF平分∠DCH，
∴∠FCM=∠DCF=45°，
∴∠CFM=45°=∠FCM，
∴CM=FM，
∵∠B=∠FME=90°，∠BAE=∠CEG，
∴△ABE∽△EMF，
∴

AB

EM

=

BE

FM

，
∵AB=BC=BE+CE，F(xiàn)M=CM，
∴

BC

EC+CM

=

BE

FM

，
∴

BE+EC

EC+FM

=

BE

FM

，
∴FM=BE=CM，
∴AB=BC=EM，
由勾股定理得：AE²=AB²+BE²，EF²=EM²+FM²，
∴AE=EF，
故答案為：AE=EF．

（3）E為線段BC上的任意一點(diǎn)，它們之間的關(guān)系仍成立，
證明：理由是：過F作FM⊥BC于M，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB=BC，
∵∠ECG=90°，
∴∠DCM=90°，
∵CF平分∠DCH，
∴∠FCM=∠DCF=45°，
∴∠CFM=45°=∠FCM，
∴CM=FM，
∵∠B=∠FME=90°，∠BAE=∠CEG，
∴△ABE∽△EMF，
∴

AB

EM

=

BE

FM

，
∵AB=BC=BE+CE，F(xiàn)M=CM，
∴FM=BE=CM，
∴AB=BC=EM，
由勾股定理得：AE²=AB²+BE²，EF²=EM²+FM²，
∴AE=EF．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了正方形性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)和判定，勾股定理的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的推理能力．