Question

設(shè)p是給定的質(zhì)數(shù)，將所有不超過p的質(zhì)數(shù)分為兩組，a，b，c，…，k，α，β，…，γ，已知x滿足x=abc…k-αβ…γ，1＜x＜p²．求證：x為質(zhì)數(shù)．

Answer 1

分析：根據(jù)質(zhì)數(shù)是除了1和它本身再?zèng)]有別的約數(shù)，1既不是質(zhì)數(shù)，也不是合數(shù)，可判定質(zhì)數(shù)，再根據(jù)p是給定的質(zhì)數(shù)，可設(shè)p是特定的質(zhì)數(shù)11，可證明x為質(zhì)數(shù)．

解答：證明：設(shè)p是11，①將所有不超過11的質(zhì)數(shù)分為兩組：3，7；2，5，
∵x=abc…k-αβ…γ，
即x=3×7-2×5
x=11，
∴x為質(zhì)數(shù)；
②將所有不超過11的質(zhì)數(shù)分為兩組：5，7；2，3，
∵x=abc…k-αβ…γ，
即x=5×7-2×3
x=29，
∴x為質(zhì)數(shù)；
③將所有不超過11的質(zhì)數(shù)分為兩組：3，5；2，7，
∵x=abc…k-αβ…γ，
即x=3×5-2×7
x=1，
又∵1＜x＜p²，
∴將所有不超過11的質(zhì)數(shù)分為兩組：3，5；2，7不符合題意；
④將所有不超過11的質(zhì)數(shù)分為兩組2，5；3，7，不符合題意；
⑤將所有不超過11的質(zhì)數(shù)分為兩組2，3；5，7不符合題意；
⑥將所有不超過11的質(zhì)數(shù)分為兩組2，7；3，5不符合題意；
綜上所述，x=11，x=29，
∴x為質(zhì)數(shù)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了質(zhì)數(shù)，設(shè)P是特定值11是解題關(guān)鍵，注意證明時(shí)要分 情況討論．