Question

（1）觀察下列等式：

1

(1+1×2)(1+2×2)

=

1

2

(

1

1+1×2

-

1

1+2×2

)，

1

(1+2×2)(1+3×2)

=

1

2

(

1

1+2×2

-

1

1+3×2

)，

1

(1+3×2)(1+4×2)

=

1

2

(

1

1+3×2

-

1

1+4×2

)，
根據(jù)等式的規(guī)律填空：

1

[1+2(n-1)](1+2n)

=

 

；
（2）利用（1）的結(jié)論先化簡代數(shù)式：

1

(1+x)(1+2x)

+

1

(1+2x)(1+3x)

+

1

(1+3x)(1+4x)

+

1

(1+4x)(1+5x)

+

1

(1+5x)(1+6x)

+

1

(1+6x)(1+7x)

再求當(dāng)x=

-4+ 30

7

的值．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)等式規(guī)律進(jìn)行解答；
（2）注意運(yùn)用（1）的結(jié)論，先化簡，再代入求值．

解答：解：（1）

1

2

[

1

1+2(n-1)

-

1

1+2n

]；
（2）原式=

1

x

[

1

1+x

-

1

1+2x

+

1

1+2x

-

1

1+3x

+…-

1

1+7x

]
=

1

x

（

1

1+x

-

1

1+7x

）
=

6

(1+x)(1+7x)

，
當(dāng)x=

-4+ 30

7

時(shí)，
原式=

6

3+ 30 7 ×(-3+ 30 )

=2．

點(diǎn)評：分式的四則運(yùn)算是整式四則運(yùn)算的進(jìn)一步發(fā)展，是有理式恒等變形的重要內(nèi)容之一．
在計(jì)算時(shí)，首先要弄清楚運(yùn)算順序，先去括號，再進(jìn)行分式的乘除．