Question

 從三角形木板上截下一塊圓形的木板，
（1）怎樣才能使圓的面積盡可能大？（不寫作法，但要保留作圖痕跡）
（2）若△ABC的三邊長為AB=4，BC=5，AC=6，求△ABC的面積；
（3）在（1）、（2）的基礎(chǔ)上，求最大圓鐵皮的半徑．

Answer 1

考點：三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心,作圖—復(fù)雜作圖

專題：

分析：（1）利用尺規(guī)作圖法直接作△ABC的內(nèi)切圓；
（2）作BC邊上的高AM，運(yùn)用勾股定理求出AM的長即可解決問題．
（3）連接OA、OB、OC、OD、OE、OF；運(yùn)用△ABC的面積=△OAB、△OBC、△OAC的面積之和，即可解決問題．

解答：解：（1）如圖1所示，作△ABC的內(nèi)切圓O；

（2）過點A作AM⊥BC于點M，設(shè)BM=x，則CM=5-x；
由勾股定理得：AB²-BM²=AM²，AC²-CM²=AM²，
故4²-x²=6²-（5-x）²，整理得10x=5，
∴x=

1

2

，AM=

42-( 1 2 )2

=

63

2

，
∴S△ABC=

1

2

BC•AM=

1

2

×5×

63

2

=

5 63

4

．
（3）設(shè)⊙O的半徑為r，
∵S_△ABC=S_△OAB+S_△OBC+S_△OAC
=

AB•OD

2

+

BC•OE

2

+

AC•OF

2

=

15r

2

，
∴

5 63

4

=

15r

2

，
解得r=

63

6

，
∴最大圓鐵皮的半徑為

63

6

．

點評：本題以三角形為載體在考查三角形內(nèi)切圓的作法的同時，還滲透了對勾股定理等幾何知識的考查，對綜合的分析問題解決問題的能力提出了較高的要求．