Question

如圖，AB是⊙O的直徑，AC、AD是弦，AB=2，AD=1，∠BAC=30°，則∠CAD=    °．

Answer 1

【答案】分析：分兩種情況考慮：D在直徑AB的上方或下方，根據(jù)題意畫出相應(yīng)的圖形，根據(jù)直徑所對的圓周角為直角可得∠ADB為90°，即三角形ABD為直角三角形，又AD及AB的值得到AD等于AB的一半，根據(jù)直角三角形中一直角邊等于斜邊的一半，這條直角邊所對的角為30°，可得∠ABD=30°，根據(jù)直角三角形的兩銳角互余可得∠DAB等于60°，由∠BAC=30°，利用∠CAD=∠BAD-∠BAC或∠CAD=∠BAD+∠BAC即可求出兩種情況下所求角的度數(shù)．
解答：解：當(dāng)D在直徑AB的上方時(shí)，如圖所示：
∵AB為圓O的直徑，
∴∠ADB=90°，即△ABD為直角三角形，
又AD=1，AB=2，即AD=AB，
∴∠ABD=30°，
∴∠DAB=60°，又∠BAC=30°，
∴∠CAD=∠BAD-∠BAC=60°-30°=30°；
當(dāng)D在直徑AB的下方時(shí)，如圖所示：
∵AB為圓O的直徑，
∴∠ADB=90°，即△ABD為直角三角形，
又AD=1，AB=2，即AD=AB，
∴∠ABD=30°，
∴∠DAB=60°，又∠BAC=30°，
∴∠CAD=∠BAD+∠BAC=60°+30°=90°，
綜上，∠CAD=30°或90°．
故答案為：30°或90．
點(diǎn)評：此題考查了圓周角定理，以及含30°角直角三角形的性質(zhì)，利用了數(shù)形結(jié)合及分類討論的數(shù)學(xué)思想，熟練掌握圓周角定理及直角三角形的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵，同時(shí)本題有兩解，注意不要漏解．