(2010•河源)如圖,直角梯形OABC中,OC∥AB,C(0,3),B(4,1),以BC為直徑的圓交x軸于E,D兩點(D點在E點右方).
(1)求點E,D的坐標(biāo);
(2)求過B,C,D三點的拋物線的函數(shù)關(guān)系式;
(3)過B,C,D三點的拋物線上是否存在點Q,使△BDQ是以BD為直角邊的直角三角形?若不存在,說明理由;若存在,求出點Q的坐標(biāo).

【答案】分析:(1)設(shè)以BC為直徑的圓的圓心為M,由于⊙M過點D,由圓周角定理可得∠BDC=90°;即可證得△ABD∽△ODC,可用OD表示出DA,根據(jù)相似三角形得到的比例線段,即可求得OD的長,由此可得到點D、E的坐標(biāo);
(2)用待定系數(shù)法求解即可求出該拋物線的解析式;
(3)首先求出直線CD的解析式;由于CD⊥BD,且點C在拋物線的圖象上,因此C點就是符合條件的Q點;同理可先求出過B點且平行于CD的直線l的解析式,直線l與拋物線的交點(B點除外)也應(yīng)該符合Q點的要求.
解答:解:(1)取BC的中點M,過M作MN⊥x軸于N;則M點即為以BC為直徑的圓的圓心;
∵點D是⊙M上的點,且BC是直徑,
∴∠BDC=90°;
∴∠OCD=∠BDA=90°-∠ODC;
又∵∠COD=∠OAB,
∴△OCD∽△ADB;

∵OC=3,AB=1,OA=OD+DA=4,
∴3×1=OD×(4-OD),
解得AD=1,OD=3;
∵點D在點E右邊,
∴OD=3,OE=1;
即D(3,0),E(1,0);

(2)設(shè)拋物線的解析式為y=ax2+bx+c,(a≠0),依題意,
有:,
解得;
∴y=x2-x+3;

(3)假設(shè)存在這樣的Q點;
①△BDQ以D為直角頂點;
由于CD⊥BD,且C點在拋物線的圖象上,
所以C點符合Q點的要求;
此時Q(0,3);
②△BDQ以B為直角頂點;
易知直線CD的解析式為:y=-x+3;
作過B的直線l,且l∥CD;
設(shè)l的解析式為y=-x+h,由于l經(jīng)過點B(4,1),
則有:-4+h=1,h=5;
∴直線l的解析式為y=-x+5;
聯(lián)立拋物線的解析式有:
,
解得,
∴Q(-1,6);
綜上所述,存在符合條件的Q點,且Q點坐標(biāo)為(0,3)或(-1,6).
點評:此題主要考查的圓周角定理、相似三角形的判定和性質(zhì)、二次函數(shù)解析式的確定、函數(shù)圖象交點坐標(biāo)的求法、直角三角形的判定等知識的綜合應(yīng)用,綜合性強,難度較大.
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