Question

已知：如圖，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AD=2，BC=6，AB=3．E為BC邊上一點，以BE為邊作正方形BEFG，使正方形BEFG和梯形ABCD在BC的同側(cè)．

（1）當正方形的頂點F恰好落在對角線AC上時，求BE的長；

（2）將（1）問中的正方形BEFG沿BC向右平移，記平移中的正方形BEFC為正方形B′EFG，當點E與點C重合時停止平移．設(shè)平移的距離為t，正方形B′EFG的邊EF與AC交于點M，連接B′D，B′M，DM，是否存在這樣的t，使△B′DM是直角三角形？若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由；

（3）在（2）問的平移過程中，設(shè)正方形B′EFG與△ADC重疊部分的面積為S，請直接寫出S與t之間的函數(shù)關(guān)系式以及自變量t的取值范圍．

 

Answer 1

【答案】

解：（1）如圖①，

設(shè)正方形BEFG的邊長為x，

則BE=FG=BG=x，

∵AB=3，BC=6，

∴AG=AB﹣BG=3﹣x，

∵GF∥BE，

∴△AGF∽△ABC，

∴，

即，

解得：x=2，

即BE=2；

（2）存在滿足條件的t，

理由：如圖②，過點D作DH⊥BC于H，

則BH=AD=2，DH=AB=3，

由題意得：BB′=HE=t，HB′=|t﹣2|，EC=4﹣t，

在Rt△B′ME中，B′M²=ME²+B′E²=2²+（2﹣t）²=t²﹣2t+8，

∵EF∥AB，

∴△MEC∽△ABC，

∴，即，

∴ME=2﹣t，

在Rt△DHB′中，B′D²=DH²+B′H²=3²+（t﹣2）²=t²﹣4t+13，

過點M作MN⊥DH于N，

則MN=HE=t，NH=ME=2﹣t，

∴DN=DH﹣NH=3﹣（2﹣t）=t+1，

在Rt△DMN中，DM²=DN²+MN²=t²+t+1，

（Ⅰ）若∠DB′M=90°，則DM²=B′M²+B′D²，

即t²+t+1=（t²﹣2t+8）+（t²﹣4t+13），

解得：t=，

（Ⅱ）若∠B′MD=90°，則B′D²=B′M²+DM²，

即t²﹣4t+13=（t²﹣2t+8）+（t²+t+1），

解得：t₁=﹣3+，t₂=﹣3﹣（舍去），

∴t=﹣3+；

（Ⅲ）若∠B′DM=90°，則B′M²=B′D²+DM²，

即：t²﹣2t+8=（t²﹣4t+13）+（t²+t+1），

此方程無解，

綜上所述，當t=或﹣3+時，△B′DM是直角三角形；

（3）①如圖③，當F在CD上時，EF：DH=CE：CH，

即2：3=CE：4，

∴CE=，

∴t=BB′=BC﹣B′E﹣EC=6﹣2﹣=，

∵ME=2﹣t，

∴FM=t，

當0≤t≤時，S=S_△FMN=×t×t=t²，

②當G在AC上時，t=2，

∵EK=EC•tan∠DCB=EC•=（4﹣t）=3﹣t，

∴FK=2﹣EK=t﹣1，

∵NL=AD=，

∴FL=t﹣，

∴當＜t≤2時，S=S_△FMN﹣S_△FKL=t²﹣（t﹣）（t﹣1）=﹣t²+t﹣；

③如圖⑤，當G在CD上時，B′C：CH=B′G：DH，

即B′C：4=2：3，

解得：B′C=，

∴EC=4﹣t=B′C﹣2=，

∴t=，

∵B′N=B′C=（6﹣t）=3﹣t，

∵GN=GB′﹣B′N=t﹣1，

∴當2＜t≤時，S=S_梯形GNMF﹣S_△FKL=×2×（t﹣1+t）﹣（t﹣）（t﹣1）=﹣t²+2t﹣，

④如圖⑥，當＜t≤4時，

∵B′L=B′C=（6﹣t），EK=EC=（4﹣t），B′N=B′C=（6﹣t）EM=EC=（4﹣t），

S=S_梯形MNLK=S_{梯形B′EKL}﹣S_{梯形B′EMN}=﹣t+．

綜上所述：

當0≤t≤時，S=t²，

當＜t≤2時，S=﹣t²+t﹣；

當2＜t≤時，S=﹣t²+2t﹣，

當＜t≤4時，S=﹣t+．

【解析】（1）首先設(shè)正方形BEFG的邊長為x，易得△AGF∽△ABC，根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊成比例，即可求得BE的長；

（2）首先利用△MEC∽△ABC與勾股定理，求得B′M，DM與B′D的平方，然后分別從若∠DB′M=90°，則DM²=B′M²+B′D²，若∠DB′M=90°，則DM²=B′M²+B′D²，若∠B′DM=90°，則B′M²=B′D²+DM²去分析，即可得到方程，解方程即可求得答案；

（3）分別從當0≤t≤時，當＜t≤2時，當2＜t≤時，當＜t≤4時去分析求解即可求得答案．