Question

在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，BC=.動點O在AC上，以點O為圓心，OA長為半徑的⊙O分別交AB、AC于點D、E，連結(jié)CD.

1.如圖1，當(dāng)直線CD與⊙O相切時，請你判斷線段CD與AD的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；

2.如圖2，當(dāng)∠ACD=15°時，求AD的長

 

Answer 1

 

1.CD=AD       ……1分

證明：如圖1，連結(jié)OD．

∵直線CD與⊙O相切．∴∠COD＝90°，……2分

又∵ OD＝OA，    ∴  ∠A=∠ADO＝30°．

∴  ∠COD=60°．∴ ∠ACD=30°．   ……3分

∴CD=AD，…………4分

2.如圖2，過點C作CF⊥AB于點F．

∵ ∠A＝30°，BC=，∴ AB=．   ……5分

∵ ∠ACD＝15°，∴ ∠BCD＝75°，∠BDC＝45°．……6分

  在Rt△BCF中，可求BF=，CF=．    

  在Rt△CDF中，可求DF＝．       ……7分

  ∴ AD＝AB－BF-FD＝－－＝ (－3)．……8分

解析:（1）直線CD與⊙O相切，連接OD，可得∠CDO=90°，則CD=BD．

（2）過點C作CF⊥AB于點F，根據(jù)已知條件，可求出在三角形ABC中，AB=4．又∠BDC=45°，所以△DCF為等腰直角三角形，DF=CF，在Rt△BCF中，可求BF=，CF=3=DF，所以AD可用求差法進(jìn)行求解