Question

已知：如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=，AB=10、點(diǎn)O在AB上，以O(shè)為圓心，OA長(zhǎng)為半徑的圓與AC，AB分別交于點(diǎn)D，E，連接BD，
（1）求AC的長(zhǎng)；
（2）當(dāng)OA為多少時(shí)，BD與⊙O相切？并說(shuō)明理由．

Answer 1

解：（1）BC=AB•sinA=10×=6，
∴AC==8、

（2）OA=
理由：連接OD，DE、
如果BD與⊙O相切，則OD⊥BD，∴∠ADO+∠BDC=90°
∵OA=OD，∴∠A=∠ADO，∴∠A+∠BDC=90°
∵∠C=90°，∴∠BDC+∠DBC=90°，∴∠A=∠DBC
∵∠C=∠C，∴△ABC∽△BDC，
∴=，解得CD=
∴AD=8-=
∵AE是⊙O的直徑，∴∠ADE=90°=∠C
∵∠A=∠A，∴△ADE∽△ACB，∴=，解得AE=
∴OA=．
分析：（1）由角A的正弦值即能求得該角的余弦值，又有AB值從而得到AC值．
（2）按照其意思連接OD，DE求得OA．
點(diǎn)評(píng)：本題是一個(gè)具有一定邏輯性的綜合題，由∠A的正弦值求得余弦值，即得到AC值，連接OD，DE；由三角形相似，利用相似三角形的性質(zhì)即可求得AD的值．