Question

已知，∠AOB及∠AOB內(nèi)任意一射線OC．小明在OC上取一點(diǎn)P，過P作PD∥OA交OB于D，取OP中點(diǎn)E，連接DE并延長交OA于點(diǎn)F．于是他說四邊形ODPF是平行四邊形，
（1）小明為什么說它是平行四邊形？請你給證明一下．
（2）要使四邊形ODPF是矩形，已知還需給出什么條件？條件是

∠AOB=90°

．
（3）要使四邊形ODPF是菱形，已知還需給出什么條件？條件是

OC平分∠AOB

．

Answer 1

分析：（1）證△PDE≌△OFE，推出DE=EF，根據(jù)平行四邊形的判定推出即可；
（2）∠AOB=90°，根據(jù)矩形的定義推出即可；
（3）推出OD=PD，根據(jù)菱形的定義推出即可．

解答：（1）證明：∵E為OP的中點(diǎn)，
∴OE=EP，
∵PD∥OA，
∴∠PDE=∠PFE，
在△PDE和△OFE中

∠PDE=∠OFE ∠DEP=∠FEO PE=OE

∴△PDE≌△OFE（AAS），
∴DE=EF，
∵OE=EP，
∴四邊形ODPF是平行四邊形；

（2）解：∠AOB=90°，
理由是：∵四邊形ODPF是平行四邊形，∠AOB=90°，
∴平行四邊形ODPF是矩形，
故答案為：∠AOB=90°；

（3）解：OC平分∠AOB，
理由是：∵OC平分∠AOB，
∴∠AOC=∠BOC，
∵PD∥OA，
∴∠DPO=∠COA，
∴∠BOC=∠DPO，
∴OD=DP，
∵四邊形ODPF是平行四邊形，
∴平行四邊形ODPF是菱形，
故答案為：OC平分∠AOB．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了矩形的判定，菱形的判定，平行四邊形的判定，全等三角形的性質(zhì)和判定，平行線的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)的綜合運(yùn)用．