Question

如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直線MN經(jīng)過點(diǎn)C，且AD⊥MN，垂足為D，BE⊥MN，垂足為E
（1）如圖，求證：DE=AD+BE；
（2）保持上述條件不變，若直線MN繞點(diǎn)C進(jìn)行旋轉(zhuǎn)，使MN經(jīng)過△ABC的內(nèi)部，則DE，AD，BE具有怎樣的等量關(guān)系？請畫出草圖并說明理由．

Answer 1

解：（1）當(dāng)直線MN繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖1的位置時(shí)，DE=AD+BE；
證明：∵∠ACB=90°，∠ADC=90°，∠BEC=90°
∴∠ACD+∠DAC=90°，∠ACD+∠BCE=90°，
∴∠DAC=∠BCE，
在△ADC與△BEC中，
，
△ADC≌△BEC（AAS），
∴AD=CE，BE=CD，
∵DE=CE+CD，
∴DE=AD+BE；

（2）若MN繞C點(diǎn)繼續(xù)旋轉(zhuǎn)時(shí)，
當(dāng)直線MN繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖2的位置時(shí)，
同理：AD=CE，BE=CD
∵CE=ED+CD
∴AD=ED+BE，即ED=AD-BE；
當(dāng)直線MN繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖3的位置時(shí)，
同理：AD=CE，BE=CD
∵CE=CD-ED
∴AD=BE-ED，即ED=BE-AD；
當(dāng)直線MN繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)垂直于AB時(shí)，AD=BE-DE=0，
綜合以上得：ED=|AD-BE|．
分析：（1）證明△ADC≌△BEC（AAS）即可，已知已有兩直角相等和AC=BC，再由同角的余角相等證明∠DAC=∠BCE即可；
（2）首先畫出草圖，考慮到三種情況：當(dāng)直線MN繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖2的位置時(shí)；當(dāng)直線MN繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖3的位置時(shí)；當(dāng)直線MN繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)垂直于AB時(shí)．同樣由三角形全等尋找邊的關(guān)系，根據(jù)位置尋找和差的關(guān)系．
點(diǎn)評：此題考查三角形全等的判定和性質(zhì)，注意考慮問題要全面．