Question

如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，E是BC的中點(diǎn)，AD=5，BC=12，梯形的高DF=4，∠C=45°，點(diǎn)P是BC邊上一動(dòng)點(diǎn)，設(shè)PB的長(zhǎng)為x．
（1）當(dāng)x的值為______時(shí)，以點(diǎn)P、A、D、E為頂點(diǎn)的四邊形為直角梯形；
（2）當(dāng)x的值為______時(shí)，以點(diǎn)P、A、D、E為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形；
（3）點(diǎn)P在BC邊上運(yùn)動(dòng)的過程中，以P、A、D、E為頂點(diǎn)的四邊形能否構(gòu)成菱形？試說明理由．

Answer 1

解：（1）如圖，分別過A、D作AM⊥BC于M，DN⊥CB于N，
∴AM=DN，AD=MN=5，
而CD=4，∠C=45°，
∴DN=CN=4=AM，
∴BM=CB-CN-MN=3，
若點(diǎn)P、A、D、E為頂點(diǎn)的四邊形為直角梯形，
則∠APC=90°或∠DEP=90°，
當(dāng)∠APC=90°時(shí)，
∴P與M重合，
∴BP=BM=3；
當(dāng)∠DPB=90°時(shí)，
∴P與N重合，
∴BP=BN=8；
故當(dāng)x的值為3或8時(shí)，以點(diǎn)P、A、D、E為頂點(diǎn)的四邊形為直角梯形；

（2）若以點(diǎn)P、A、D、E為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，那么AD=PE，有兩種情況：
①當(dāng)P在E的左邊，
∵E是BC的中點(diǎn)，
∴BE=6，
∴BP=BE-PE=6-5=1；
②當(dāng)P在E的右邊，
BP=BE+PE=6+5=11；
故當(dāng)x的值為1或11時(shí)，以點(diǎn)P、A、D、E為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形；

（3）由（2）知：x=11時(shí)四邊形AEPD是平行四邊形，此時(shí)P在E的右邊，
在Rt△CND中，∵∠C=45°，∴CN=DN=4，
又CP=BC-BP=12-11=1，
PN=CN-CP=4-1=3，
在Rt△PND中，…
∴PD=AD=5，
∴平行四邊形AEPD是菱形．…
分析：（1）如圖，分別過A、D作AM⊥BC于M，DN⊥CB于N，容易得到AM=DN，AD=MN，而CD=42，∠C=45°，由此可以求出AM=DN，又AD=5，容易求出BM、CN，若點(diǎn)P、A、D、E為頂點(diǎn)的四邊形為直角梯形，則∠APC=90°或∠DPE=90°，那么P與M重合或E與N重合，即可求出此時(shí)的x的值；
（2）若以點(diǎn)P、A、D、E為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，那么AD=PE，有兩種情況：①當(dāng)P在E的左邊，利用已知條件可以求出BP的長(zhǎng)度；②當(dāng)P在E的右邊，利用已知條件也可求出BP的長(zhǎng)度；
（3）以點(diǎn)P、A、D、E為頂點(diǎn)的四邊形能構(gòu)成菱形．由（2）知，當(dāng)BP=11時(shí)，以點(diǎn)P、A、D、E為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，根據(jù)已知條件分別計(jì)算一組鄰邊證明它們相等即可證明它是菱形．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了梯形的性質(zhì)、直角梯形的性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)、菱形的性質(zhì)等，要求學(xué)生熟練掌握，本題綜合性很強(qiáng)．