Question

已知：如圖，在直角坐標系中，有菱形OABC，A點的坐標為（10，0），對角線OB，AC相交于D點，雙曲線y=

k

x

（x＞0）經過D點，交BC的延長線于E點，且OB•AC=160，有下列四個結論：
①菱形OABC的面積為80；②E點的坐標是（4，8）；③雙曲線的解析式為y=

20

x

（x＞0）；④sin∠COA=

4

5

．
其中正確的結論有（　�。﹤�．

A．1

B．2

C．3

D．4

Answer 1

分析：作DH⊥x軸于H，BG⊥x軸于G，根據菱形的面積等于對角線乘積的一半得到菱形OABC的面積=

1

2

OB•AC=

1

2

×160=80；則△ODA的面積為20，根據三角形面積公式可計算出DA=4，再根據菱形的性質易得DH為△OBG的中位線，則BG=8，所以E點的縱坐標為8；接著證明Rt△DOH∽Rt△ADH，得到DH²=OH•AH，
由于DH=4，AH=10-OH，則OH（10-OH）=16，解得OH=8或OH=2（舍去），可確定D點坐標為（8，4），利用待定系數法得到反比例函數解析式為y=

32

x

；同時可確定E點坐標為（4，8）；CM⊥x軸于M，則CM=8，根據菱形性質得OC=OA=10，根據勾股定理可計算出OM=6，然后利用正弦的定義即可得到sin∠COM=

CM

OC

=

4

5

，于是有sin∠COA=

4

5

．

解答：解：作DH⊥x軸于H，BG⊥x軸于G，如圖，
∵四邊形OABC為菱形，
∴菱形OABC的面積=

1

2

OB•AC=

1

2

×160=80，所以①正確；
∴

1

2

DH•OA=菱形OABC的面積的

1

4

=

1

4

×80，
而A點的坐標為（10，0），
∴

1

2

DH×10=

1

4

×80，
∴DH=4，
∵OB與AC互相垂直平分，
∴∠AOD=90°，DH為△OBG的中位線，
∴BG=2DH=8，
∴E點的縱坐標為8，
∵∠DOH+∠ODH=∠ODH+∠ADH=90°，
∴∠DOH=∠ADH，
∴Rt△DOH∽Rt△ADH，
∴DH：AH=OH：DH，即DH²=OH•AH，
∵DH=4，AH=OA-OH=10-OH，
∴OH（10-OH）=16，解得OH=8或OH=2（舍去），
∴D點坐標為（8，4），
把D（8，4）代入y=

k

x

得k=4×8=32，
∴反比例函數解析式為y=

32

x

，所以③錯誤；
把y=8代入得

32

x

=8，解得x=4，
∴E點坐標為（4，8），所以②正確；
CM⊥x軸于M，如圖，
∴CM=BG=8，
∵四邊形OABC為菱形，
∴OC=OA=10，
在Rt△OCM中，CM=8，OC=10，
∴OM=

OC2-CM2

=6，
∴sin∠COM=

CM

OC

=

8

10

=

4

5

，
即sin∠COA=

4

5

，所以④正確．
故選C．

點評：本題考查了反比例函數的綜合題：反比例函數圖象的點的坐標滿足其函數解析式；熟練運用菱形的性質、相似三角形的相似比和勾股定理進行計算．