Question

如圖，AB是⊙O的直徑，BC是一條弦，連接OC并延長至點P，使PC=BC，∠BOC=60°．
（1）求證：PB是⊙O的切線；
（2）若⊙O的半徑為1，且AB、PB的長是方程x²+bx+c=0的兩根，求b、c的值．

Answer 1

（1）證明：∵PC=BC，
∴∠P=∠CBP，
又∵OB=OC，∠BOC=60°，
∴△BOC是等邊三角形，
∴∠OCB=∠BOC=60°，
又∠OCB=∠P+∠PBC，
∴∠P=∠CBP=30°，
在△BOP中，∠P=30°，∠BOP=60°，
∴∠OBP=90°，
∴BP是⊙O的切線；

（2）解：∵OB=1，∠P=30°，
∴AB=2，BP=，
又∵AB、BP是方程x²+bx+c=0的兩根，
∴AB+BP=-b，AB•BP=c，
∴b=-2-，c=2．
分析：（1）由PC=BC，易得∠P=∠CBP，又由于OB=OC，∠BOC=60°，可證△BOC實等邊三角形，于是∠OCB=∠BOC=60°；利用三角形外角的性質，易求∠P=∠CBP=30°，即∠P+∠BOC=90°，再利用三角形內角和定理可求∠OBP=90°，即BP是⊙O的切線；
（2）由OB=1，∠P=30°，易求AB=2，BP=，再利用根與系數(shù)的關系可得：AB+BP=-b，AB•BP=c，即可求b、c．
點評：本題利用了等邊對等角、等邊三角形的判定和性質、切線的判定、三角形外角性質、根與系數(shù)的關系．