Question

已知二次函數(shù)y=a（x-m）²-2a（x-m）（a，m為常數(shù)，且a≠0）．
（1）求證：不論a與m為何值，該函數(shù)的圖象與x軸總有兩個公共點；
（2）設該函數(shù)的圖象的頂點為C，與x軸交于A，B兩點，當△ABC是等腰直角三角形時，求a的值．

Answer 1

考點：拋物線與x軸的交點,二次函數(shù)的性質,等腰直角三角形

專題：

分析：（1）把拋物線方程轉化為一般式方程，然后由根的判別式的符號進行證明；
（2）根據(jù)拋物線解析式可以求得點C的坐標；令y=0可以求得點A、B的坐標．所以根據(jù)等腰直角三角形的面積公式進行解答．

解答：解：（1）證明：y=a（x-m）²-2a（x-m）=ax²-（2am+2a）x+am²+2am．
當a≠0時，△=（2am+2a）²-4a（am²+2am）=4a²
∵a≠0，
∴4a²＞0．
∴不論a與m為何值，該函數(shù)的圖象與x軸總有兩個公共點；

（2）y=a（x-m）²-2a（x-m）=a（x-m-1）²-a．
∴C（m+1，-a）．
當y=0時，
解得x₁=m，x₂=m+2．
∴AB=（m+2）-m=2．
當△ABC是等腰直角三角形時，可求出AB邊上高等于1．
∴|-a|=1．
∴a=±1．

點評：本題考查了拋物線與x軸的交點，等腰直角三角形以及二次函數(shù)的性質．二次函數(shù)y=ax²+bx+c（a，b，c是常數(shù)，a≠0）的交點與一元二次方程ax²+bx+c=0根之間的關系．
△=b²-4ac決定拋物線與x軸的交點個數(shù)．
△=b²-4ac＞0時，拋物線與x軸有2個交點；
△=b²-4ac=0時，拋物線與x軸有1個交點；
△=b²-4ac＜0時，拋物線與x軸沒有交點．