Question

如圖，AB是⊙O的直徑，，C在上，且不與A、M重合，MF⊥BC于F，ME⊥AC于E，連CM．
①求證：ME=MF；
②若AC=6，BC=8，求線段CM的長．

Answer 1

（1）證明：連OM，
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ACB=90°，∴∠MOB=90°，
∴∠MCF=∠MOB=45°，
∴∠ECM=45°，
∴MC平分∠ECF；
又∵EM⊥CE，MF⊥CB，
∴ME=MF．

（2）解：連接AM、BM；
由（1）得正方形EMFC，則MF=FC=CE，
∵，
∴AM=BM，
又ME=MF，
∴Rt△MBF≌Rt△MAE，
∴BF=AE，
∴2BF=BF+AE，
∴2BF=BF+CF+AC=8+6=14，
∴BF=7，
∴CF=8-7=1，
∴CM=CF，
∴CM=．
分析：（1）由于ME⊥CE、MF⊥CF，若證ME=MF，可證CM平分∠ECF；由于M是半圓AB的中點(diǎn)，因此∠MCB=45°，由圓周角定理易得∠ECB=∠ACB=90°，即可證得MC是∠ECB的平分線，由此得證．
（2）易證得四邊形MECF是正方形；連接MA、MB，由于M是半圓AB的中點(diǎn)，易得MA=MB，即可證得△AEM≌△BFM，由此可得BF=AE，而BF+AE（即2BF）=BF+AC+CF=AC+BC，由此可求得BF的長，進(jìn)而可得到CF的值，在等腰Rt△CFM中，即可求出斜邊CM的長．
點(diǎn)評：此題主要考查了圓周角定理，等腰直角三角形、正方形的性質(zhì)，圓心角、弦的關(guān)系以及全等三角形的判定和性質(zhì)等知識，難度較大．